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2020 Multi-University Training Contest 4---- HDU--6810、Imperative Meeting(组合数学)

程序员文章站 2022-06-02 23:31:25
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题目链接

题面:
2020 Multi-University Training Contest 4---- HDU--6810、Imperative Meeting(组合数学)

题意:
有一棵 nn 个节点的树,边权均为 11,从上面选 mm 个点的方案为 CnmC_n^m
对于每一种方案,该方案的权重定义为这 mm 个点到树上某一点的距离和的最小值。我们定义这一点为最优点。
CnmC_n^m 种方案的权重的和。

题解:
我没枚举每一条边,假设这条边两侧的节点数分别为 ssnsn-s。我们在这条边两侧选的节点数为 iimim-i,我们可以知道,最优点一定在选的点数较多的一侧。

那么对于某条边来说较为容易得到公式:

f(s)=i=1m1CsiCnsmimin(i,mi)f(s)=\sum\limits_{i=1}^{m-1}C_s^i*C_{n-s}^{m-i}*min(i,m-i)

显然,对于每一条边,计算该式子的时间复杂度是 O(n2)O(n^2) 的。

考虑化简,我们令 p=m12p=\left\lfloor\frac{m-1}{2}\right\rfloor,那么我们得到式子:

f(s)=i=1pCsiCnsmii+i=1pCsmiCnsii+[m mod 2=0]Csm2Cnsm2m2f(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_s^i*C_{n-s}^{m-i}*i+\sum\limits_{i=1}^pC_s^{m-i}*C_{n-s}^i*i+[m\space mod\space 2=0]*C_s^{\frac{m}{2}}*C_{n-s}^{\frac{m}{2}}*\frac{m}{2}

我们令 g(s)=i=1pCsiCnsmiig(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_s^i*C_{n-s}^{m-i}*ih(s)=i=1pCsmiCnsiih(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_s^{m-i}*C_{n-s}^i*ik(s)=Csm2Cnsm2m2k(s)=C_s^{\frac{m}{2}}*C_{n-s}^{\frac{m}{2}}*\frac{m}{2}

容易发现 h(s)=g(ns)h(s)=g(n-s),现在我们考虑怎么快速求出 g(s)g(s)

g(s)=i=1pCsiCnsmiig(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_s^i*C_{n-s}^{m-i}*i

Csi=s!i!(si)!=(s1)!s(i1)!i(si)!=Cs1i1siC_s^i=\dfrac{s!}{i!*(s-i)!}=\dfrac{(s-1)!*s}{(i-1)!*i*(s-i)!}=C_{s-1}^{i-1}*\dfrac{s}{i}

g(s)=si=1pCs1i1Cnsmi=st(s)g(s)=s*\sum\limits_{i=1}^pC_{s-1}^{i-1}*C_{n-s}^{m-i}=s*t(s) ,其中 t(s)=i=1pCs1i1Cnsmit(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_{s-1}^{i-1}*C_{n-s}^{m-i}

考虑给定 t(s)t(s) 一个定义:
n1n-1 个位置,放置 m1m-1 个球,每个球只能放在一个位置上,每个位置至多放置一个球。其中要求前 s1s-1 个位置至多放置 p1p-1 个球。
得到:
t(s)=i=1pCs1i1Cnsmit(s)=\sum\limits_{i=1}^pC_{s-1}^{i-1}*C_{n-s}^{m-i}

明显需要满足 p>=1p>=1。且 s=1s=1时,t(s)=Cn1m1t(s)=C_{n-1}^{m-1}

考虑:怎么由 t(s1)t(s-1) 得到 t(s)t(s)

要求改变的地方为,从前 s2s-2 个位置至多放置 p1p-1 个球,转化为前 s1s-1 个位置至多放置 p1p-1 个球。

考虑哪些不合法。
那些在 t(s1)t(s-1) 种合法且在 t(s)t(s) 种不合法的一定是,前 s2s-2 个位置已经放置了 p1p-1 个球,但是第 s1s-1 的位置还有一个球。即 Cs2p1Cnsm1pC_{s-2}^{p-1}*C_{n-s}^{m-1-p}

这样,我们可以快速求出 t(s)t(s),从而快速得到 g(s)g(s),从而得到 h(s)h(s),最终得到 f(s)f(s)

注意 m=1m=1m=2m=2 这两种情况下,p=0p=0

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<set>
#include<ctime>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
//#define lc (cnt<<1)
//#define rc (cnt<<1|1)
#define len(x)  (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const double alpha=0.75;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=1000100;
const int maxm=100100;
const int maxp=100100;
const int up=1100;

ll fac[maxn],inv[maxn];
ll t[maxn],g[maxn],h[maxn],k[maxn],ans;
int f[maxn],si[maxn],n,m;

ll mypow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void init(void)
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[maxn-1]=mypow(fac[maxn-1],mod-2);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<0||m<0||m>n) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

int main(void)
{
    init();
    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=2;i<=n;i++)
            scanf("%d",&f[i]),si[i]=1;
        ans=0;
        int p=(m-1)/2;
        t[1]=p?C(n-1,m-1):0;
        g[1]=t[1]*1;
        for(int s=2;s<=n;s++)
        {
            t[s]=((t[s-1]-C(s-2,p-1)*C(n-s,m-1-p)%mod)%mod+mod)%mod;
            g[s]=t[s]*s%mod;
        }
        for(int s=1;s<=n;s++)
        {
            h[s]=g[n-s];
            k[s]=C(s,m/2)*C(n-s,m/2)%mod*(m/2)%mod;
        }
        int now=0;
        for(int i=n;i>=2;i--)
        {
            si[f[i]]+=si[i];
            now=min(si[i],n-si[i]);
            ans=(ans+g[now]+h[now]+(m%2==0?k[now]:0))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);

    }
    return 0;
}