luogu P4196

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题意

给一些多边形，求这些多边形的面积并

数据范围

每个多边形至多50条边，至多有10个多边形

解法

半平面交
这里介绍的是$O(nlogn)$O(nlogn)的做法：
首先考虑如何比较优秀的直线求交，这个是接下来算法步骤的灵魂问题
考虑使用面积法：

如图，可以看到三角形p1p2v1和四边形p1p2v1v2同底，所以它们的面积比就是高之比，又由于相似，它们的高之比可以看成线段（p2-交点）和（p2-v2）的长度之比。所以求出这个之后加上p2就可以得到交点的坐标了。

然后考虑半平面交问题，这里我们规定所有线段都是左边为有效区间，然后将所有线段一起按照极角排序，相同极角的靠左边的放在后面，然后用双端队列维护半平面交，计算的时候就是考虑一条线段加进去后，会不会影响之前的半平面交。又了直线求交的方法后就比较简单了，具体可以看代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const double eps=1e-7;
struct node{
	double x,y;
	node (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}b[maxn];
double operator ^(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
node operator +(node a,node b){return node(a.x+b.x,a.y+b.y);}
node operator -(node a,node b){return node(a.x-b.x,a.y-b.y);}
node operator *(double a,node b){return node(a*b.x,a*b.y);}
struct line{
	node v,p;
	double poa;
}a[maxn],q[maxn];
int n,js;
inline int sign(double a){
	if(fabs(a)<=eps)return 0;
	return a>0?1:-1;
}
bool cmp(line a,line b){
	if(sign(a.poa-b.poa))return sign(a.poa-b.poa)<0;
	else return sign((a.v-a.p)^(b.v-a.p))>0;
}
node inter(line a,line b){
	node p1=a.p,v1=a.v,p2=b.p,v2=b.v;
	v1=v1-p1,v2=v2-p2;
	node alfa=p2-p1;
	node tmp=p2+((alfa^v1)/(v1^v2))*v2;
	return tmp;
}
int cnt=0;
inline bool pd(line a,line b,line c){
	node p=inter(a,b);
	return sign((c.v-c.p)^(p-c.p))<0;
}
void bpm(){
	sort(a+1,a+1+js,cmp);
	for(int i=1;i<=js;i++){
		if(sign(a[i].poa-a[i-1].poa)!=0)cnt++;//极角不同才保留
		a[cnt]=a[i];
	}
	int h=1,t=0;
	q[++t]=a[1],q[++t]=a[2];
	for(int i=3;i<=cnt;i++){
		while(h<t&&pd(q[t-1],q[t],a[i]))t--;
		while(h<t&&pd(q[h+1],q[h],a[i]))h++;
		q[++t]=a[i];
	}
	while(h<t&&pd(q[t-1],q[t],q[h]))t--;//注意最后要记得把头和尾判断一下
	while(h<t&&pd(q[h+1],q[h],q[t]))h++;
	q[t+1]=q[h];//这里容易忘记，因为是多边形，首尾相连
	js=0;
	for(int i=h;i<=t;i++){
		b[++js]=inter(q[i],q[i+1]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k;
		scanf("%d",&k);
		for(int j=1;j<=k;j++){
			scanf("%lf%lf",&b[j].x,&b[j].y);
		}
		b[k+1]=b[1];
		for(int j=1;j<=k;j++)a[++js].p=b[j],a[js].v=b[j+1];
	}
	for(int i=1;i<=js;i++)
	a[i].poa=atan2(a[i].v.y-a[i].p.y,a[i].v.x-a[i].p.x);
	bpm();
	b[js+1]=b[1];
	double ans=0;
	if(js>2)
	for(int i=1;i<=js;i++)ans+=b[i]^b[i+1];
	ans=fabs(ans)/2.0;
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}