【HDU 1215】 七夕节 唯一分解定理 素数 数论

七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:“你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!”
人们纷纷来到告示前,都想知道谁才是自己的另一半.告示如下:

数字N的因子就是所有比N小又能被N整除的所有正整数,如12的因子有1,2,3,4,6.
你想知道你的另一半吗?

Input
输入数据的第一行是一个数字T(1<=T<=500000),它表明测试数据的组数.然后是T组测试数据,每组测试数据只有一个数字N(1<=N<=500000).

Output
对于每组测试数据,请输出一个代表输入数据N的另一半的编号.

Sample Input
3
2
10
20

Sample Output
1
8
22

题意：计算n以内（不包括n）的所有因子和

思路（唯一分解定理）：

看很多博客讲的是线性筛，我第一眼看觉得是唯一分解定理的板子，而且n不大，就直接用这个了。就直接套公式：
Ans = （q1⁰+q1¹+q1² …q1^a1）（q2⁰+q2¹+q2²…q2^a2）…*（qn⁰+qnⁿ+qn²…qn^an）
其中qi^x代表第i个分解素数的x次方因子，括号里面每一项都是等比数列求和，由 积性函数性质可知每项之间的求和后乘积即为最终结果。最后注意Ans-n就好，因为题目要求因子不能等于n

AC代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include <queue>
#include <time.h>
#include <stack>
#include<vector>
#define FAST ios::sync_with_stdio(false)
#define abs(a) ((a)>=0?(a):-(a))
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;--i)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define maxn 100000+500
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int maxm = 100000+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;
const double pi=acos(-1);
const int mod = 1e18+7;
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){if(!b){d=a,x=1,y=0;}else{ex_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}//x=(x%(b/d)+(b/d))%(b/d);
inline ll qpow(ll a,ll b,ll MOD){ll res=1;a%=MOD;while(b>0){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;b>>=1;}return res;}
inline ll inv(ll x,ll p){return qpow(x,p-2,p);}
inline ll Jos(ll n,ll k,ll s=1){ll res=0;rep(i,1,n+1) res=(res+k)%i;return (res+s)%n;}
inline ll read(){ ll x = 0;char ch = getchar();while(ch>'9'||ch<'0') ch = getchar();while(ch>='0'&&ch<='9') x = (x<<3) + (x<<1) + ch - '0',  ch = getchar();return x; }
ll n;
void solve()
{
    ll ans = 1;
    ll t = n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ll tmp = 0;
            ll p = i;
            while(n%i==0)       //唯一分解定理，求出每项的等比数列和
            {
                tmp += p;
                p *= i;
                n /= i;
            }
            tmp += 1;       //加上1这个元素，也就是p的零次方
            ans *= tmp;
        }
    }
   if(n > 1) ans *= (1 + n);        //剩下的肯定是一个质数（若大于1），那就算上1和它本身
    cout<<ans-t<<endl;      //最后要减去本身，题目要求是小于它的因子
}

int main()
{
    int kase;
    cin>>kase;
    while(kase--)
    {
       cin>>n;
       solve();
    }
    return 0;
}