递归与回溯1：生成全部有效括号组合

从现在开始我们一起来梳理递归相关的问题。递归是高阶算法的核心，回溯、dp都是递归的拓展和延伸。

废话少说，递归的问题一般我们不要急着看代码，因为看了也不懂，而应该先分析问题的本质，从小到大逐步归纳出特征，最后再写代码。而计算机调用的时候恰好是从大小到逐步递进的。

先看一个CC150中的题目，实现一种算法，打印n对括号中的全部有效组合，即左右括号正确配对。

示例：输入n=3，输出:((())), (()()), (())(), ()(()),()()()所以有3个。

这个题如果用递归的话怎么做呢？

如果直接想是不好想的，我们画一个图看一下：

很明显看到， 从n=2开始就是将上面一层的每一个都是在其左边、右边和包起来三种操作，n从1到2就很明显，从n到3就是图中红色标记的地方。后面的每一层都对前面做相同的三个操作。这就是一个从小到大不断递归的过程。

但是这里有个问题，出现重复了怎么办？例如n=2的时候()()和()()是一样的。显然这时候只保留一种就足够了，后序递归操作也只处理一个就行了，那如何去重呢？我们想到集合能保证元素唯一，所以我们可以将每层的元素用集合来保存。代码如下：

 public static Set<String> parentThesis(int n) {
        Set<String> s_n = new HashSet<String>();
        if (n == 1) {
            s_n.add("()");
            return s_n;
        }

        Set<String> s_n_1 = parentThesis(n - 1);
        for (String s : s_n_1) {
            s_n.add("()" + s);
            s_n.add(s + "()");
            s_n.add("(" + s + ")");
        }
        return s_n;
    }

     这里虽然有个for循环，但是只是简单的拼接字符串，因此难度不算很大的。