【C编程】简单编程练习——（2）最大公约数和最小公倍数
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一、问题描述
问题：
求m和n的最大公约数和最小公倍数。
实例：
2和4的最大公约数是2，最大公倍数是8
输入：
2 4
输出：
4 8
二、问题求解
问题分析：
（1）最大公约数：（也称最大公因数，最大公因子），指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数。
例如：【12和24】12的约数有：1、2、3、4、6、12；24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。它们共有的约数为：1、2、3、4、6、12，则12和24的最大公约数为12
（2）最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]。
例如：【12和24】12的倍数有：12、24、36等；24的约数有：24、48、72等。它们共有的约数为：24、72等，则12和24的最小公倍数为24
（3）最小公倍数和最大公约数的关系：
最小公倍数=m*n/最大公约数
程序设计：
方法一：（穷举法）
思路：先判断出m和n中哪个数字较小，以较小的数为起始因子（i）在[i,1]区间内判断是否满足既被m整除又被n整除，如果不满足，i--（因子减一）重复判断动作，直到找到满足条件的因子，程序结束；如果满足，该因子即为最大公因子，直接结束程序。
#include <stdio.h>
//计算最大公因子（穷举法）
int gcd(int m, int n)
{
int temp = m > n ? n : m;
int res = 1;
for (int i = temp; i > =1; i--) {
if (m % i == 0 && n % i == 0) {
res = i;
break;
}
}
return res;
}
int main()
{
int m, n;
scanf("%d%d", &m, &n);
int temp = gcd(m, n);
printf("%d %d\n", temp, m * n / temp);
}测试1：
测试2：
方法二：（辗转相除法（也称欧几里德算法））
思路：辗转相除算法：当除数不为0时，将除数m和被除数n进行求余操作，余数temp；然后令m=n;n=temp;继续判断除数n是否为0，重复前面动作，直到除数为0，程序结束。
//计算最大公因子（辗转相除法——非递归）
int gcd2_1(int m, int n)
{
int res = 0;
while(n != 0) {
int temp = m % n;
m = n;
n = temp;
}
res = m;
return res;
}//计算最大公因子（辗转相除法——递归）
int gcd2_2(int m, int n)
{
if (m % n == 0)
return n;
else
return gcd2_2(n, m % n);
}方法三：（更相减损法）
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
算法步骤：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则整除2约简，重新判断；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数m减较小的数n得到差temp，接着把所得的差与较小的数n比较，并以大数减小数（将两者中m=较大的数，n=较小的数）。重复步骤二，直到所得的减数和差相等为止。
最大公因数=（第一步约掉的若干个2的乘积）*（第二步中结束时的等数（即差或减数））
int gcd3(int m, int n)
{
int res1=1, x;
while (m % 2 == 0 && n % 2 == 0) //判断m和n能被多少个2整除，并计算若干2的乘积结果为res1
{
m /= 2;
n /= 2;
res1*=2;
}
//保证m保存较大的值
if (m < n) {
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
do
{
x = m - n;
m = (n > x) ? n : x;
n = (n < x) ? n : x;
} while (n != x);
if (res1 == 1)
return x;
else
return res1*x;
}
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