学习3D图形引擎中使用的基本数学
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介绍
本文将通过删除GPU层抽象并仅使用CPU来帮助您了解3D引擎中使用的3D数学。
而且，为什么不呢，要制作一个基于体素(voxel)3D引擎。
体素(voxel)只是空间中的一个点，就像构成材料的原子一样，这是我自己的定义，对于其他引擎，体素(voxel)定义为像素体积，就像在Minecraft/Roblox中一样，但我不使用此定义。
使用代码
首先，我们需要先问几个问题：
- 什么是空间(space)？
- 什么是轴(axis)？
- 什么是维(dimension)？
- 什么是平面(plane)？
- 什么是三角函数(trigonometric functions)？
- 什么是向量(vector)？
- 什么是旋转矩阵(rotation matrix)？
- 什么是旋转(rotation)和平移(translation)？
现在让我们为这些问题提供答案：
space是由点定义的，数学上由构成空间尺寸的唯一dimensions中的若干axes定域（plane由2轴=2D空间形成）。
Trigonometric functions是sin(θ)和cos(θ)等函数，其中θ表示围绕轴的角度并在2D平面中绘制一个圆。
rotation matrix是由trigonometric functions组成的一组方程。
vector是空间中的方向（类似于GPS），是点通过rotation matrix转换（算术运算符）的结果。
该点由旋转矩阵驱动到空间中，以便到达trigo函数内部的角度所指定的方向。
1D space用一个方向上的单线/ axis表示：----------------------------
要在此轴上移动对象，公式为：
x'=Dot.x + x 向右移动
x'=Dot.x-x 向左移动
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
X--|---|---|---|---|---|---|--translation在一行，1D空间中完成，因此我们可能在X-axis<font color="#007000" face=""Segoe UI",Arial,Sans-Serif">.</font>上有1 translation。
2D space只是1D space，另一条线在X-axis的90°方向上，Y代表它：
要在此2D space中添加一个对象，我们需要为该对象的每个点设置2个坐标，然后移动该对象，我们像以前一样在x-axis上对translate添加了一个对象。
但是我们也可以围绕2 axis的中心旋转对象，为此，添加是不够的，我们需要调用专门用于rotation计算的数学运算符。
rotation是在平面2D space内完成的，因此，我们有1个rotation可能围绕两个axis的中心。
这些数学运算符被称为三角函数：sin()和cos()占用两条线之间的角度：[中心，对象的点]和x-axis的cos() 和y-axis的sin()。
在视觉上，我们在一个点0°（x = 1，y = 0），我们用+90°（+逆时针的， -表示顺时针）rotation中心，结果是x = 0，y = 1。
找到这个结果的演算是：
x' = x.cos(90) - y.sin(90)
y' = x.sin(90) + y.cos(90)从头开始检索该方程式非常容易，这就是我所做的，而且令人惊讶的是，我已经看到该方程式是Z旋转矩阵的线性形式。
这是我的操作方式：
- 我们有一个直径为8的2D XY圆。
- 我们设置1个点，旋转它，然后尝试检索其新位置的方程式，一旦我们对几个不同的XY组合进行运算，我们将找到最终方程式。
- 让我们从一个红点P(4,0)开始：
- 现在我们旋转+ 90°(θ)的这一点，并尝试找到其新位置的方程，在视觉上找到的结果为P(0, 4)：
X = sin(θ) = 1 ❌
X = cos(θ) = 0 ✔
Y = cos(θ) = 0 ❌
Y = sin(θ) = 1 ❌✔
Y = 4 × sin(θ) = 4 ✔- 因此，对于P(4, 0)和θ= 90，我们有：
X = cos(θ)
Y = 4 × sin(θ)- 尝试对P(4, 0)的任何其他角度以及Y为零的不同X值（对此使用mathsisfun），您会发现相同的方程式，对于X为4x，但不会改变最终方程式：
X' = 4 × cos(θ) = X × cos(θ)
Y' = 4 × sin(θ) = X × sin(θ)- 现在我们将红点设置为P(0, 4)：
- 我们将此点旋转+ 90°，在视觉上结果为P(-4, 0)：
X = cos(θ) = 0 ❌
X = sin(θ) = 1 ❌✔
X = 4 × -sin(θ) = -4 ✔
Y = sin(θ) = 1 ❌
Y = cos(θ) = 0 ✔- 因此，对于P(0, 4)和θ= 90，我们有：
X = 4 × -sin(θ)
Y = cos(θ)- 尝试使用P(0, 4)的任何其他角度以及X值为零的不同Y值，您会发现相同的方程式，其中Y的角度为4×，但不会改变最终方程式：
X = 4 × -sin(θ) = Y × -sin(θ)
Y = 4 × cos(θ) = Y × cos(θ)- 现在让我们总结一下：
_____ ________________ ________________
| | | |
| | P(X, 0) | P(0, Y) |
|_____|________________|________________|
| | | |
| θ | X = X × cos(θ) | X = Y × -sin(θ)|
| | Y = X × sin(θ) | Y = Y × cos(θ)|
|_____|________________|________________|如我们所见，不同的XY组合生成不同的方程式，因此让我们对设置为0以上的X和Y进行操作：
- 因此，我们将红点设置为P(2, 4×√3/2)：
- 现在我们将这个点旋转+ 30°，在视觉上找到的结果是P(0, 4)：
X = sin(θ) = 0.5 ❌
X = cos(θ) = √3/2 ❌
Y = sin(θ) = 0.5 ❌
Y = cos(θ) = √3/2 ❌我们有一个问题，三角函数都不起作用，因此我们需要在仍然使用sin()和cos()的同时找到解决方案。
让我们回顾一下之前找到的等式：
_____ ________________ ________________
| | | |
| | P(X, 0) | P(0, Y) |
|_____|________________|________________|
| | | |
| θ | X = X × cos(θ) | X = Y × -sin(θ)|
| | Y = X × sin(θ) | Y = Y × cos(θ)|
|_____|________________|________________|这些是我们拥有的奇特方程，如果我们有P(X, Y)，它应该是两个方程的混合：
X' = X × cos(θ) X = Y × -sin(θ)
Y' = X × sin(θ) Y = Y × cos(θ)
X' = X × cos(θ) Y × -sin(θ)
Y' = X × sin(θ) Y × cos(θ)让我们看看添加是否有效：
X' = X × cos(θ) + Y × -sin(θ)
X × cos(θ) - Y × sin(θ)
Y' = X × sin(θ) + Y × cos(θ)
X = 2 × cos(θ) - 4×√3/2 × sin(θ) = 0 ✔
Y = 2 × sin(θ) + 4×√3/2 × cos(θ) = 4 ✔完美，此方程式有效，因此最后，XY平面上的最终方程式为：
X' = X × cos(θ) - Y × sin(θ)
Y' = X × sin(θ) + Y × cos(θ)但是，让我们消除对P(X, 0)和P(0, Y)的疑问：
- 对于P(4, 0)，我们应用+ 90°旋转，在视觉上找到的结果为P(0, 4)：
X' = 4 × cos(θ) - 0 × sin(θ) = 0 ✔
Y' = 4 × sin(θ) + 0 × cos(θ) = 4 ✔- 对于P(0, 4)，我们应用+ 90°旋转，在视觉上找到的结果是P(-4, 0)：
X' = 0 × cos(θ) - 4 × sin(θ) = -4 ✔
Y' = 0 × sin(θ) + 4 × cos(θ) = 0 ✔很好，一切正常，您可以使用自己的XY和角度值测试此方程式，以验证其是否正常运行。
这个方程是还令人惊讶地（如前面所述）的只是线性形式Z旋转（XZ平面旋转矩阵） 矩阵，乘以点叫vector，其中Z是两者axis的中心）
Rotation matrix on z: Vector:
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| | | | | |
| cos(θz) | -sin(θz) | 0 | | x |
|_______________|_______________|_______________| |_______________|
| | | | | |
| sin(θz) | cos(θz) | 0 | × | y |
|_______________|_______________|_______________| |_______________|
| | | | | |
| 0 | 0 | 1 | | z |
|_______________|_______________|_______________| |_______________|3D space是2D space与另一个叫Z轴，并在XY计平面90°上。
可能的移动是translation(加法方程)和rotation(sin和cos)。
但现在rotations的次数是3，围绕Z，围绕X和围绕Y。
因为如前所述，旋转是在2D平面上进行的，但是现在我们混合使用3x 2D space/plane：
- X/Y，Y/Z和Z/X。
因此，我们需要收集所有rotation矩阵并使用它们。
X旋转矩阵（XY平面旋转矩阵）
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| 1 | 0 | 0 |
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| | | |
| 0 | cos(θx) | -sin(θx) |
|_______________|_______________|_______________|
| | | |
| 0 | sin(θx) | cos(θx) |
|_______________|_______________|_______________|Y旋转矩阵（YZ平面旋转矩阵）
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| | | |
| cos(θy) | 0 | -sin(θy) |
|_______________|_______________|_______________|
| | | |
| 0 | 1 | 0 |
|_______________|_______________|_______________|
| | | |
| sin(θy) | 0 | cos(θy) |
|_______________|_______________|_______________|Z旋转矩阵（XZ平面旋转矩阵）
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| | | |
| cos(θz) | -sin(θz) | 0 |
|_______________|_______________|_______________|
| | | |
| sin(θz) | cos(θz) | 0 |
|_______________|_______________|_______________|
| | | |
| 0 | 0 | 1 |
|_______________|_______________|_______________|但是我们有一个问题，如果这样做，我们将无法一起围绕XYZ axis旋转一个对象，它是一个axis 上的rotation ，其他角度设置为“零”，因为它们不在所选矩阵中。
为了解决这个问题，我们需要通过将XYZ矩阵相乘来形成1个单个矩阵（mul的顺序问题）。
XYZ旋转矩阵（XY YZ XZ平面旋转矩阵）
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| | | |
| cos(θy) × cos(θz) | cos(θy) × -sin(θz) | -sin(θy) |
|______________________________|______________________________|____________________|
| | | |
| -sin(θx) × sin(θy) × cos(θz) | sin(θx) × sin(θy) × sin(θz) | -sin(θx) × cos(θy) |
| + cos(θx) × sin(θz) | + cos(θx) × cos(θz) | |
|______________________________|______________________________|____________________|
| | | |
| cos(θx) × sin(θy) × cos(θz) | cos(θx) × sin(θy) × -sin(θz) | cos(θx) × cos(θy) |
| + sin(θx) × sin(θz) | + sin(θx) × cos(θz) | |
|______________________________|______________________________|____________________|现在，我们只需要将这个rotation matrix（基于对象的角度）乘以物体的vector点，就可以在XYZ axes周围对物体进行rotate。
Obj Vec: Rotation Matrix:
_____ ______________________________ ______________________________ ____________________
| | | | | |
| x | | cos(θy) × cos(θz) | cos(θy) × -sin(θz) | -sin(θy) |
|_____| |______________________________|______________________________|____________________|
| | | | | |
| y | × | -sin(θx) × sin(θy) × cos(θz) | sin(θx) × sin(θy) × sin(θz) | -sin(θx) × cos(θy) |
| | | + cos(θx) × sin(θz) | + cos(θx) × cos(θz) | |
|_____| |______________________________|______________________________|____________________|
| | | | | |
| z | | cos(θx) × sin(θy) × cos(θz) | cos(θx) × sin(θy) × -sin(θz) | cos(θx) × cos(θy) |
| | | + sin(θx) × sin(θz) | + sin(θx) × cos(θz) | |
|_____| |______________________________|______________________________|____________________|现在快要完成了，我们需要创建一个摄像机以能够导航到场景中。
相机由3 vectors定义：Forward，Right 和Up：
X Y Z
Right/Left (1, 0, 0)
Up/Down (0, 1, 0)
Forward/Backward (0, 0,-1)然后，将这3个vectors分别乘以rotation matrix（基于相机的角度），因为我们需要它们中的每一个都能够移动相机Forward/Backward/Right/Left/Up/Down。
并且，将结果添加到对象向量。
例如：如果按W，使用Forward vector
如果按S，使用-Forward vector
如果按D，使用Right vector
Object Vector: Forward Vector:
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| | | |
| x | | x |
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| | | |
| y | + | y |
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| | | |
| z | | z |
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Object Vector: Forward Vector:
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| | | |
| x | | x |
|__________________| |__________________|
| | | |
| y | - | y |
|__________________| |__________________|
| | | |
| z | | z |
|__________________| |__________________|
Object Vector: Right Vector:
__________________ __________________
| | | |
| x | | x |
|__________________| |__________________|
| | | |
| y | + | y |
|__________________| |__________________|
| | | |
| z | | z |
|__________________| |__________________|最后，我们将另一个rotation matrix（基于相机的角度）与来自对象的每个vector点相乘，以便能够根据相机角度移动对象（通过鼠标移动进行修改）。
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