「中山纪中集训省选组D2T1」书堆 欧拉常数

题目描述

蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限。现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边缘。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌缘（如图），而且不允许同一高度摆多本书。

蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们已经用不知道什么方法测出了书的长度\(m\)（如图）。如果总共有\(n\)本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。
如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。

注意：
不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；
书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；
在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

输入格式

输入文件仅含一行，两个正整数\(n\)和\(m\)，表示书本数和书本长度。

输出格式

输出仅包含一行，整数\(l\)，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数，详见样例)

样例

样例输入1

1 100

样例输出1

49

样例输出1

2 100

样例输出2

74

数据范围

\(10\%\)的数据中\(n\leq5\)；
\(20\%\)的数据中\(n\leq10^3\)；
\(40\%\)的数据中\(n\leq10^7\)；
\(100\%\)的数据中\(n\leq10^{18}\)；答案\(\leq10^6\)。

题解

设\(f_i\)表示\(i\)本书达到最大位置时最下方的书与最上方的书的中点的距离。显然，\(f_1=0\)。
那么先考虑怎么通过\(f\)的前\(i\)个值计算出\(f_{i+1}\)。
记\(f\)的前缀和为\(g\)，那么前\(i\)本书的总重心与最上方的书的中点的距离是\(\frac{g_i}{i}\)。而要保证伸出的距离最长，显然应该让上面\(i\)本书的总重心落在第\(i+1\)本书的边缘上。这样就会发现，\(f_{i+1}=\frac{g_i}{i}+\frac{m}{2}\)。这样，我们就可以递推计算答案了。
但是，\(n\)是\(10^{18}\)级别的，这样的递推公式没法满足我们，我们首先得将\(g\)消去。
考虑到\(g_i=g_{i-1}+f_i\)，\(f_i=\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{m}{2}\)，将他们代入上式。
\[f_{i+1}=\frac{g_{i-1}+\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{m}{2}}{i}+\frac{m}{2}=\frac{\frac{i\cdot g_{i-1}}{i-1}+\frac{m}{2}}{i}+\frac{m}{2}=\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{m}{2}+\frac{m}{2i}=f_i+\frac{m}{2i}\]

这样，我们就有了用\(f_i\)求\(f_{i+1}\)的方法，也就知道了\(f_i=\sum_{k=1}^{i-1}\frac{m}{2k}\)，而我们要求的\(n\)本书的最长延伸距离恰好就等于\(f_{n+1}\)，也就是\(m\cdot\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i}\)。我们只需要快速求出正整数的倒数和，就可以快速计算\(f\)了。

至于如何求正整数的倒数和呢？当\(n\leq10^7\)时，我们可以\(o(n)\)暴力求解，然而\(n\)更大的话就会超时。但同时我们可以注意到，答案不超过\(10^6\)，相当于我们只要求出答案的前\(6\)位有效数字即可，于是我们可以借助欧拉常数计算，如下：
\[\gamma=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln(n)\]

于是当\(n\)很大时，我们可以用\(\ln(n)\)和\(\gamma\)相加求出正整数的倒数和的近似值。至于\(\gamma\)具体是多少，可以通过暴力计算\(\sum_{i=1}^{10^9}\frac{1}{i}\)与\(\ln(10^9)\)的差得出近似值，大约是\(0.57721566\)。

吐槽：这题不知道欧拉常数就做不了啊（虽然欧拉常数基本可以当成一个常识了）……不知道的人就算推出倒数和的形式也搞不出来啊……

\(code:\)

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll n;
int m;
int main()
{
    scanf("%lld%d", &n, &m);
    if (n <= 10000000)
    {
        long double ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            ans += 1 / (long double)i;
        ans /= 2;
        printf("%d\n", int(ans * m - 1e-6));
    }
    else
    {
        long double ans = (log(n) + 0.57721566) / 2;
        printf("%d\n", int(ans * m - 1e-6));
    }
}