双线性插值-推导和应用

先来个新人的愚蠢问题：(这些都是本人之前不理解的 - -!)

为什么要使用双线性插值，它有何应用？

输入时什么，输出是什么？

 

先回答第一个问题-----

插值多应用于上采样（图片放大）中对放大像素的插值方法。 比如下图：

在一幅2*2的图像中已知四点的像素值，那么如果我们要放大1/2变为右图所示，四个角的像素值不变，新增的5个像素该取什么值呢。所以这就是我们要处理的具体应用场景。

 

先来理解线性插值，理解了这个后双线性就可以类推了。

首先化为数学问题分析条件：

一幅图中，  已知：两个点（点具有坐标信息和点所取的值） ，求在两点直线上的一点的值（已知位置信息，值为未知数），

简而言之：已知两点的值求两点直线上一点的值。  已知 a0, a1, (x0,y0), (x1,y1), (x,y)  ---求 b

 

 数学好的人心中大概已经知道该怎么求b的值了 ~~

 由于三角形相似 所以求b的值可用下面公式

然后将这个公式展开，化简就可以得到如下公式

看到这个大家就非常眼熟了，这就是很多博客或百度得出的结果公式，然后这就是这个公式的推理过程。

那知道了线性插值之后，那再讲双线性就非常easy的了 = =

首先，既然有了线性插值那我们为什么还需要双线性插值？？

很简单，线性插值，插的值都是在两点连线上的点，而如果在二维平面上。我们要插入的点并不在连线上，这时候就引入双线性插值。

先来一张大家都很眼熟的图

然后接着分析；  已知四个点的值和对应四个点的位置，我们求p点的对应值。

思路：将求解过程拆两步，先用已知的两个点，加上p点的一个位置信息x坐标值，求对应r1和r2；      然后利用r1，r2作为已知两点加上p点的位置信息y坐标，求得最终p点的值。

步骤一 : 和线性插值一样的道理，q11和q21作为已知点，求q11和q21线上的r1点的值

直接利用线性插值的公式带入 即可求出r1的值

步骤二：利用q12和q22作为已知点，求q12和q22线上的r2点的值

步骤三：利用r1和r2作为已知点，求r1和r2线上的p点的值

ps:先进行x轴计算和先进行y轴计算最终得到的答案是一样的。

 

这样就完成一次双线性插值。那回到最初的应用场景。

这该如何插值呢？很简单-----由于像素与像素间距离都是1，所以只需求两个之间的平均即可。

那在这种场景中，双线性的优势并没有体现出来，下面列举另一个场景：

假如在一幅4*4的图片中，我们需要提取一个3*3的目标，该目标出现在如图里面的位置，那么3*3的9个像素点值都得通过周围4个已知点进行双线性插值求得。

注意并不是方块代表像素点，这里使用交点代表像素点。也就是在4*4图片中定位3*3位置的像素。

 

最后再回到开头提到的第二个问题。

我们双线性插值输入是四个点的值和四点内一点的位置。

                         输出是该位置点的值。