数学建模04-图论

一.图论

图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支。许多经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域的问题。

图的优化问题：

• 最小支撑树；
• 最短路径问题；
• 最大流量问题，最小费用最大流问题。

1.具体内容

1.1 图论的基本概念

1.1.1 图的定义

1.1.2 其他定义

1.1.3 图的矩阵表示

1.2 图的优化问题

1.2.1 相关函数

函数名	功能
graphallshortestpaths	求图中所有顶点之间的最短距离
grapconnredcomp	找无（有）向图的（强/弱）连通分支
graphisreddag	测试有向图是否含有圈
graphisomorphism	确定一个图是否有生成树
graphmaxflow	计算有向图的最大流
graphminspantree	在图中找最小生成树
grapshortestpath	求置顶一对顶点间的最短距离和路径
graphtopoorder	执行有相无圈图的拓扑排序
graphtraverse	求从一顶点出发，所能便利图中的顶点

1.2.2 graphshortestpath函数用法

最短路径求解：

[a,b,c,d,e,f] = deal(1,2,3,4,5,6);
%      a  b  c  d  e  f
w = [  0  2  3  0  0  0 ; %a
       2  0  6  5  3  0 ; %b
       3  6  0  0  1  0 ; %c
       0  5  0  0  1  2 ; %d
       0  3  1  1  0  4 ; %e
       0  0  0  2  4  0]; %f
W = sparse(w);
[dist,path,pred] = graphshortestpath(W,a,f)

1.2.3 最小生成树

w = [  0   4  inf  5  inf  3
       4   0   5  inf  3   3
      inf  5   0   5   3  inf
       5  inf  5   0   2   4
      inf  3   3   2   0   1
       3   3  inf  4   1   0];
   W = sparse(w);
   [ST,pred] = graphminspantree(W)

1.2.4 Floyd算法

求解任意两顶点之间的最短路径：

• folyd.m

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:n
   for j=1:n
      if D(i,j)~=inf
         path(i,j)=j;
      end, 
   end,
end
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
            D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
            path(i,j)=path(i,k);
         end, 
      end, 
   end,
end
if nargin==3
   min1=D(start,terminal);
   m(1)=start;
   i=1;
   path1=[ ];   
   while   path(m(i),terminal)~=terminal
      k=i+1;                                
      m(k)=path(m(i),terminal);
      i=i+1;
   end
   m(i+1)=terminal;
   path1=m;
end   

• tulun2.m

a= [ 0,50,inf,40,25,10;
     50,0,15,20,inf,25;
     inf,15,0,10,20,inf;
     40,20,10,0,10,25;
     25,inf,20,10,0,55;
     10,25,inf,25,55,0];%矩阵可更改
[D, path]=floyd(a)

1.2.5 最大流量问题

最大流问题(maximum flow problem)，一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果。
例题：

clc,clear 
u(1,2)=1;u(1,3)=1;
u(1,4)=2;u(2,3)=1;
u(2,5)=2;u(3,5)=1;
u(4,3)=3;u(4,5)=3;

f(1,2)=1;f(1,3)=0;
f(1,4)=1;f(2,3)=0;
f(2,5)=1;f(3,5)=1;
f(4,3)=1;f(4,5)=0; 
n=length(u);
list=[];
maxf(n)=1;
while maxf(n)>0    
maxf=zeros(1,n);
pred=zeros(1,n);    
list=1;
record=list;
maxf(1)=inf;    
%list是未检查邻接点的标号点，record是已标号点    
while (~isempty(list))&(maxf(n)==0)       
flag=list(1);list(1)=[];       
label1= find(u(flag,:)-f(flag,:));      
label1=setdiff(label1,record);       
list=union(list,label1);       
pred(label1)=flag;      
maxf(label1)=min(maxf(flag),u(flag,label1)...       
-f(flag,label1));       
record=union(record,label1);      
 label2=find(f(:,flag));       
label2=label2';       
label2=setdiff(label2,record);       
list=union(list,label2);       
pred(label2)=-flag;       
maxf(label2)=min(maxf(flag),f(label2,flag));      
record=union(record,label2);    
end       
if maxf(n)>0          
v2=n; v1=pred(v2);         
while v2~=1            
if v1>0              
f(v1,v2)=f(v1,v2)+maxf(n);           
else            
v1=abs(v1);           
f(v2,v1)=f(v2,v1)-maxf(n);           
end          
v2=v1; 
v1=pred(v2);         
end       
end 
end 
f

1.2.6 最小费用最大流问题

LINGO程序：

model: 
sets: 
nodes/s,1,2,3,4,t/:d; 
arcs(nodes,nodes):c,u,f; 
endsets 
data: 
d=14 0 0 0 0 -14; 
c=0; u=0; 
enddata 
calc: 
c(1,2)=2;
c(1,4)=8; c(2,3)=2;
c(2,4)=5; c(3,4)=1;
c(3,6)=6; c(4,5)=3;
c(5,3)=4;c(5,6)=7;
u(1,2)=8;u(1,4)=7; 
u(2,3)=9;u(2,4)=5; 
u(3,4)=2;u(3,6)=5; 
u(4,5)=9;u(5,3)=6;
u(5,6)=10; 
endcalc 
[e-mail](arcs:c*f); 
@for(nodes(i):@sum(nodes(j):f(i,j))[e-mail](nodes(j):f(j,i))=d(i)); 
@for(arcs:@bnd(0,f,u)); 
end

（以上文章及代码在查看各种网课和相关资料后整理自用。）