采样率转换理论基础

离散信号重采样（采样率转换）通常有两种实现办法

1】一种是通过DA转换成模拟信号然后再通过AD重新对模拟信号进行采样

2】一种是通过插值的办法在对输入信号进行插值或者抽取的方式，完成纯数字域的采样率转换

本文主要记录第二种方法

首先看以下重构函数以及插值公式

取时间序列为步进为Ty，就可以得到一个重构函数序列的计算公式

将采样周期为Tx的输入x（nTx）序列与这个插值序列卷积，就得到了一个经过插值的序列y（mTy），插值后采样周期变为Ty，插值后输出序列的第m个元素记为以下形式：

                                                  公式1

针对公式1，进行代码验证，代码如下

clc
clear all
close all

% 建立一个离散序列
Tx = 0.05;
T = (1:fix(1/Tx))*Tx;
x = sin(2*pi*T);
figure(1)
stem(x)
title('x')

% 验证插值函数
t = 0.002;                                   % 插值结果的分辨率，应该小于Tx,否则会出现混叠
gt = sin(pi*(t-T)./Tx)./(pi*(t-T)./Tx);     % 插值函数产生的序列

figure
plot(gt)
title('gt')

% 查看整个插值后的序列
for tloop = 1:fix(1/t)
    
    tg = tloop * t;
    gt = sin(pi*(tg-T)./Tx)./(pi*(tg-T)./Tx);
    yt(tloop) = sum(x.*gt);
    
end
figure(3)
stem(yt)
title('yt')

验证结果

假设Tx=Ty=T，我们就可以将以上公式1简化，得到一个输入信号与线性时不变系统的卷积公式

                                                                    公式2

如果Tx≠Ty，将公式1整理得到如下形式

                                                                                    公式3

我们可以将mTy/Tx的结果分成整数km与小数△m两部分，即：

                                                                                                                            公式4

将公式4带入到公式3中，得到以下形式：

                                                                              公式5

如果我们定义，公式5可以整理为以下形式

同时，mTy=（km+△m）Tx，因此：

也即：

                 公式6

观察公式6，当Tx与Ty确定后，对于一个给定的m值，与就是确定的。