JZOJ 5123. 【NOI2017模拟5.31】diyiti

Description
给定n 根直的木棍，要从中选出6 根木棍，满足：能用这6 根木棍拼出一个正方形。注意木棍不能弯折。问方案数。
正方形：四条边都相等、四个角都是直角的四边形。
Input
第一行一个整数n。
第二行包含n 个整数ai，代表每根木棍的长度。
Output
一行一个整数，代表方案数。
Sample Input
8
4 5 1 5 1 9 4 5
Sample Output
3
Data Constraint
对于20% 的数据，满足：n ≤ 30
对于40% 的数据，满足：n ≤ 200
对于60% 的数据，满足：n ≤ 1000
对于100% 的数据，满足：n ≤ 5000; 1 ≤ ai ≤ 10^7

Solution

有点复杂的计数题。
首先排序，相同长度的木棍压成一个，并记录下有多少个。

这6根木棍构成正方形的情况只有两种：

• 2+2+1+1，即选出两根长度都为$a$a的，再选两根拼起来长度为$a$a的，再选两根拼起来长度为$a$a的。
• 3+1+1+1，即选出三根长度都为$a$a的，再选三根拼起来长度为$a$a的。

现考虑2+2+1+1的怎么求。
记$c_i$ci​为第$i$i根木棍个数，这个可以预处理。
先枚举两根长度相等的"1"，那么两个"2"有以下四种情况：

• aa+aa
  先判断$a_i$ai​是不是$4$4的倍数，如果是，就得到$i$i之前$\frac{a_i}{4}$4ai​​的出现次数$b$b，那么对答案贡献就是$C_{c_i}^{2}*C_b^{4}$Cci​2​∗Cb4​。
• ab+ab
  枚举一个$j$j当作b，用一个单调指针找到对应的a的位置$k$k，为了避免重复要保证$j>k$j>k，对答案贡献就是$C_{c_i}^{2}*C_{c_j}^2*C_{c_k}^2$Cci​2​∗Ccj​2​∗Cck​2​。
• aa+bc
  判断$a_i$ai​是否为$2$2的倍数，然后用类似ab+ab的方法统计bc的方案数，与aa的方案相乘即可。
• ab+cd
  用类似ab+ab的方法，记录在ab之前找到多少个cd，统计一下答案就好了。

然后考虑3+1+1+1。
枚举一个$i$i作为3最右边的那个，那么3的情况有四种：

• aaa
  枚举一个$j>i$j>i作为1，统计答案跟上面aa+aa的方法差不多。
• aab
  枚举一个$j>i$j>i作为1，用一个桶求出$i$i之前$\frac{a_j-a_i}{2}$2aj​−ai​​的出现次数，然后就可以统计答案了。
• abb
  枚举一个$j>i$j>i作为1，用aab的那个桶求出$a_j-2*a_i$aj​−2∗ai​的出现次数，就可以计算答案。
• abc
  枚举一个$j>i$j>i作为1，用另一个桶记录$1 \sim i-1$1∼i−1中所有二元组相加的情况，在这个桶里找到二元组相加等于$a_j-a_i$aj​−ai​的情况即可计算答案。

不重不漏地统计完上面这些情况，就OK了。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef unsigned long long ull;
const int N = 5007, A = 20000007;

int n, len, a[N], cnt[N], tmp[N];
int buc[A], buc1[A];

ull ans;
ull C2(int n) { return n * (n - 1) / 2; }
ull C3(int n) { return 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6; }
ull C4(int n) { return 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 24; }

void sort(int l, int r)
{
	if (l >= r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	sort(l, mid), sort(mid + 1, r);
	int i = l, j = mid + 1, len = 0;
	while (j <= r)
	{
		while (i <= mid && a[i] <= a[j]) tmp[++len] = a[i++];
		tmp[++len] = a[j++];
	}
	while (i <= mid) tmp[++len] = a[i++];
	for (int i = 1; i <= len; i++) a[l + i - 1] = tmp[i];
}

int main()
{
	freopen("yist.in", "r", stdin);
	freopen("yist.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
	sort(1, n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (a[i] != a[i - 1]) a[++len] = a[i], cnt[len] = 1;
		else cnt[len]++;
	for (int i = 1; i <= len; i++) //2+2+1+1
	{
		ull ret = 0, sum = 0;
		for (int j = 1; j <= i - 1; j++) if (a[j] + a[j] == a[i]) ans += C4(cnt[j]) * C2(cnt[i]), ret += C2(cnt[j]); //aa+aa
		for (int j = 1, k = i - 1; j <= i - 1; j++)
		{
			while (a[j] + a[k] > a[i] && k > j) k--;
			if (a[j] + a[k] == a[i] && k > j)
			{
				ans += C2(cnt[j]) * C2(cnt[k]) * C2(cnt[i]); //ab+ab
				ans += ret * cnt[j] * cnt[k] * C2(cnt[i]); //aa+bc
				ans += sum * cnt[j] * cnt[k] * C2(cnt[i]); //ab+cd
				sum += cnt[j] * cnt[k];
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= len; i++) //3+1+1+1
	{
		for (int j = 1; j <= i - 2; j++) buc[a[i - 1] + a[j]] += cnt[i - 1] * cnt[j];
		for (int j = i + 1; j <= len; j++) if (a[i] + a[i] + a[i] == a[j]) ans += C3(cnt[j]) * C3(cnt[i]); //a+a+a
		for (int j = i + 1; j <= len; j++)
			if (a[i] + a[i] < a[j])
				ans += C3(cnt[j]) * C2(cnt[i]) * buc1[a[j] - a[i] - a[i]]; //a+b+b
		for (int j = i + 1, k = 1; j <= len; j++)
			if ((a[j] - a[i]) % 2 == 0)
				ans += C3(cnt[j]) * cnt[i] * C2(buc1[(a[j] - a[i]) / 2]); //a+a+b
		for (int j = i + 1; j <= len; j++) ans += C3(cnt[j]) * cnt[i] * buc[a[j] - a[i]]; //a+b+c
		buc1[a[i]] += cnt[i];
	}
	printf("%llu\n", ans);

	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}