【代码超详解】洛谷 P3371 P4779 单源最短路径（Dijkstra 算法 · 模板题）

一、题目描述

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）

题目背景
本题测试数据为随机数据，在考试中可能会出现构造数据让SPFA不通过，如有需要请移步 P4779。

题目描述
如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。

输入格式
第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。

接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。

输出格式
一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）

输入输出样例
输入 #1
4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4
输出 #1
0 2 4 3
说明/提示
时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于20%的数据：N<=5，M<=15；

对于40%的数据：N<=100，M<=10000；

对于70%的数据：N<=1000，M<=100000；

对于100%的数据：N<=10000，M<=500000。保证数据随机。

对于真正 100% 的数据，请移步 P4779。请注意，该题与本题数据范围略有不同。

样例说明：

图片1到3和1到4的文字位置调换

P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

二、算法分析说明与代码编写指导

Dijkstra算法
1、用途：求连通图的定点到其余点的最短距离。
2、条件限制：要求不存在负边。

3、算法内容： 
设带权连通图G(V, E)，边权代表边长（直接相连两点的通路长度），定点（源点）s，数组d[|V|]代表定点s到各点的通路的估计最短距离。
记d[s] = 0，d的其余元素记为一个较大值M，设集合U代表已经估计最短距离的顶点集合，
也可以用一个bitset来标记顶点是否已被估计过最短距离。
【1】首先找出定点s的邻接点中通路距离最短的点x，并记d[x] = |sx|，将定点s先加入集合U。
【2】对点x，对该点的任意邻接点y，更新d[y] = min(d[y], d[x] + weight(x, y)) = min(|sy|, |sx| + |xy|)。
更新完毕后，将x加入集合U。这一步也叫做“松弛”。
【3】对未加入集合U的其它顶点，选出d值最小的顶点x’，更新其任意邻接点y’：
d[y’] = min(d[y’], d[x’] + weight(x’, y’)) = min(|sy’|, |sx’| + |x’y’|)，
将x’放入集合U。直到U = V（|U| = |V|）。此时d[|V|]代表定点s到各点的通路的最短距离。
容易发现，步骤【1】【2】是需要重复执行的步骤【3】的特殊情况，选出来的点x恰好是s的邻接点，且通路最短。
由于每次将新的顶点加入集合U之后，都要查找下一个未估计最短距离的顶点，因此总的时间复杂度按O(|V|2)估计。
证明：/

4、算法优化：
下面通过priority_queue将复杂度降低至O(|E| log |V|)。
设带权连通图G(V, E)，边权代表边长（直接相连两点的通路长度），定点（源点）s，数组d[|V|]代表定点s到各点的通路的估计最短距离。
用一个edge结构体表示邻接关系和边（至少含有终点和权两个成员），并额外标记顶点是否已被估计d值。
设优先队列q，用于保存顶点和对应的d值（可以构造一个有序对来存储距离和对应的顶点）。记d[s] = 0，d的其余元素记为一个较大值M。
【1】将定点s压入优先队列q。
【2】循环：取出q的队首x，如果已经被估计过，则continue（跳到循环开头继续）。
否则，对队首的顶点的全部邻接点，更新d[y] = min(d[y], d[x] + weight(x, y)) = min(|sy|, |sx| + |xy|)，
并将该邻接点压入优先队列q（为了在全部顶点中取得d最小的顶点）。队列空时，循环结束。
证明：/
一个具有|V|个顶点的图G(V, E)最多可以含有|V|(|V|－1)≈|V|2条边（无重边时）。
而|V|较大时，O(|E| log |V|)比O(|V|2)的复杂度高，此时不应该进行堆优化。
对这样的稠密图，直接采用邻接矩阵存图，套用O(|V|2)的Dijkstra算法即可。

5、补充说明
特殊情形：当所有边的边权相等，可以直接采用BFS求得最短路。
当图不是连通图时，选定的定点无法到达的点的距离保持M未更新。
当图存在负边时，算法会给出错误结果。

三、AC 代码

P3371：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;
const unsigned M = 2147483647;
unsigned n, m, s, u, x, d[10001];
struct edge { unsigned to, dis; };
vector<edge> G[10001]; bitset<10001> visited; edge e; pair<unsigned, unsigned> p;
priority_queue<pair<unsigned, unsigned>, vector<pair<unsigned, unsigned>>, greater<pair<unsigned, unsigned>>> q;
int main() {
	scanf("%u%u%u", &n, &m, &s);
	for (unsigned i = 0; i < m; ++i) {
		scanf("%u%u%u", &u, &e.to, &e.dis);
		G[u].emplace_back(e);
	}
	fill(d + 1, d + n + 1, M); d[s] = 0; p.first = d[s]; visited.reset(); p.second = s; q.emplace(p);
	while (q.empty() == false) {
		x = q.top().second; q.pop();
		if (visited[x])continue;
		visited[x] = true;
		for (unsigned long long y = 0; y < G[x].size(); ++y) {
			e = G[x][y];
			if (d[e.to] > d[x] + e.dis) {
				d[e.to] = d[x] + e.dis; p.first = d[e.to]; p.second = e.to; q.emplace(p);
			}
		}
	}
	for (unsigned i = 1; i <= n; ++i)printf("%u ", d[i]);
	//system("pause");
	return 0;
}

P4779：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;
const unsigned M = 2147483647;
unsigned n, m, s, u, x, d[100001];
struct edge { unsigned to, dis; };
vector<edge> G[100001]; bitset<100001> visited; edge e; pair<unsigned, unsigned> p;
priority_queue<pair<unsigned, unsigned>, vector<pair<unsigned, unsigned>>, greater<pair<unsigned, unsigned>>> q;
int main() {
	scanf("%u%u%u", &n, &m, &s);
	for (unsigned i = 0; i < m; ++i) {
		scanf("%u%u%u", &u, &e.to, &e.dis);
		G[u].emplace_back(e);
	}
	fill(d + 1, d + n + 1, M); d[s] = 0; p.first = d[s]; visited.reset(); p.second = s; q.emplace(p);
	while (q.empty() == false) {
		x = q.top().second; q.pop();
		if (visited[x])continue;
		visited[x] = true;
		for (unsigned long long y = 0; y < G[x].size(); ++y) {
			e = G[x][y];
			if (d[e.to] > d[x] + e.dis) {
				d[e.to] = d[x] + e.dis; p.first = d[e.to]; p.second = e.to; q.emplace(p);
			}
		}
	}
	for (unsigned i = 1; i <= n; ++i)printf("%u ", d[i]);
	//system("pause");
	return 0;
}