C++数字三角形问题与dp算法

题目：数字三角形

题目介绍：如图所示的数字三角形，要求从最上方顶点开始一步一步下到最底层，每一步必须下一层，求出所经过的数字的最大和。

输入：第一行值n，代表n行数值；后面的n行数据代表每一行的数字。

输出：经过数字的最大和。

例：

输入：

4

1

3 2

4 10 1

4 3 2 20

输出：

24

分析：这也是一个典型的贪心算法无法解决的问题，同样可以用动态规划（dp算法）来解决。把边界数字首先初始化到结果矩阵中，再根据状态方程完成结果矩阵的遍历。需要注意的就是数组不是矩形而是三角形，与传统的状态方程相比需要做点改进。

数组编号：

状态方程：p[ i ][ j ]=max{ p[ i-1 ][ j-1 ] , p[ i-1 ][ j ]}

代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int i;
 6     int n;
 7     cin >> n;
 8     int **p = new int *[n];
 9     for (i = 0; i < n; i++)
10     {
11         p[i] = new int[n];
12     }
13     for (i = 0; i < n; i++)
14     {
15         for (int j = 0; j <= i; j++)
16         {
17             cin >> p[i][j];
18         }
19     }
20     for (i = 1; i < n; i++)
21     {
22         p[i][0] += p[i - 1][0];
23     }
24     for (i = 1; i < n; i++)
25     {
26         p[i][i] += p[i - 1][i - 1];
27     }
28     for (i = 2; i < n; i++)
29     {
30         for (int j = 1; j < i; j++)
31         {
32             p[i][j] += (p[i - 1][j - 1] > p[i - 1][j]) ? p[i - 1][j - 1] : p[i - 1][j];
33         }
34     }
35     for (i = 0; i < n; i++)
36     {
37         for (int j = 0; j <= i; j++)
38         {
39             cout << p[i][j] << " ";
40         }
41         cout << endl;
42     }
43 }

结果如下图：

所以最下层的数字和最大值是24.