欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  IT编程

CCF-NOIP-2018 提高组(复赛) 模拟试题(七)

程序员文章站 2022-05-18 14:34:06
T1 Adjoin 【问题描述】 定义一种合法的$0 1$串:串中任何一个数字都与$1$相邻。例如长度为$ 3 的 0 1 $串中,$101$是非法的,因为两边的$1$没有相邻的$1,011$是合法的,因为三个数都有$1$相邻。现在问,长度为$N$的$0 1$中有多少是合法的。 【输入格式】 一行, ......

t1 adjoin

【问题描述】

定义一种合法的\(0-1\)串:串中任何一个数字都与\(1\)相邻。例如长度为$ 3 的 0-1 $串中,\(101\)是非法的,因为两边的\(1\)没有相邻的\(1,011\)是合法的,因为三个数都有\(1\)相邻。现在问,长度为\(n\)\(0-1\)中有多少是合法的。

【输入格式】

一行,一个整数\(n\)

【输出格式】

一行,合法\(0-1\)串的个数,答案对\(1000000007\)取模。

【样例1】

样例输入
3
样例输出
3

样例说明

\(110、111、011\)是所有长度为\(3\)的合法\(0-1\)

数据规模与约定

所有测试点的数据规模与约定如下:
\(30\%\)输入数据,保证\(n<=50。\)
\(60\%\)输入数据,保证$ n<=5000$
\(80\%\)输入数据,保证$ n<=1000000$
\(100\%\)输入数据,保证$ 1<=n<=10^{18}$

题解

一道很经典的需要反向优化的题目。我们首先考虑暴搜得到较小范围内每一个\(n\)所对应的答案,如下所示
|i|f[i]|
|-|-
|1|0
|2|1
|3|3
|4|4
|5|5
|6|9
|7|16
|8|25
|9|29
|10|54
然而直接观察数据似乎没有什么明显的规律。于是我们选择将奇偶数分开判断。经过一段时间的观察,似乎所有的数满足这样一个规律:\[f[i]=\begin{cases} 0 & i=1\\ 1 & i=2\\ f[i-1]+f[i-2] & i\%2=0\\ f[i-1]+f[i-2]+(flag=1)?-2:2 & i\%2=1\\ \end{cases} \]
其中我们将flag的初值赋为1,在每碰到一个奇数时为其取反即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000005
const long long mod = 1000000007;
using namespace std;
long long n;
long long dp[maxn];
bool flag=1;
int main(){
    //freopen("adjoin.in","r",stdin);
    //freopen("adjoin.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n;
    dp[1]=0;
    dp[2]=1;
    for(register long long i=3;i<=n;i++){
        if(i%2==0)dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        else{
            if(flag){
                dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+2;
                flag=0;
            }
            else{
                dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]-2;
                flag=1;
            }
        }
        //cout<<dp[i]<<endl;
        dp[i]%=mod;
    }
    //for(register long long i=3;i<=n;i++)cout<<dp[i]<<endl;
    cout<<dp[n]%mod<<endl;
    return 0;
}

这时我们就拥有了85分的总分。最大数据范围为\(n\le 10^{18}\),早已超出了\(o(n)\)的复杂度能到达的极限。此时,我们思考所有和动态规划有关的优化。经过一番思索后,我们会发现只有矩阵优化稍微与目前的\(dp\)有点联系。然而矩阵优化要求使用通项公式,而我们当前只有一个递推式。那么我们现在考虑将方程式反向优化,从一维方程变为三维方程,使整个式子具有通项公式,再使用矩阵优化来降低整体的复杂度。想到了这一点后,实现起来应该并不难。

#include <bits/stdc++.h>
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000010;
const int mod = 1e9+7;
const int p = 1e9+7;
ll n;
struct matrix {
    ll val[4][4];
} a, i, ans;
matrix operator*(const matrix &a,const matrix &b){
    matrix c;
    for(int i = 0;i < 4;i++)
        for(int j = 0;j < 4;j++){
            c.val[i][j] = 0;
            for(int k = 0;k < 4;k++)
                c.val[i][j] = (1ll * a.val[i][k] * b.val[k][j] + c.val[i][j]) % p;
        }
    return c;
}
matrix fpm(matrix x, long long y){
    matrix ret = i;
    while(y){
        if(y & 1) ret = ret * x;
        x = x*x;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    freopen("adjoin.in","r",stdin);
    freopen("adjoin.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    if(n == 1){
        puts("0");
        return 0;
    }
    for(int i = 0;i < 4;i++){
        for(int j = 0;j < 4;j++){
            i.val[i][j] = (i == j ? 1 : 0);
            a.val[i][j] = 0;
        }
    }
    ans.val[0][0] = 0;
    ans.val[0][1] = 1;
    ans.val[0][2] = 0;
    ans.val[0][3] = 1;
    a.val[2][0] = a.val[0][1] = a.val[2][1] = a.val[3][2] = a.val[1][3] = a.val[3][3] = 1;
    a = fpm(a,n-2);
    ans = ans * a;
    ll ansss = (ans.val[0][2] + ans.val[0][3]) % mod;
    printf("%lld",ansss);
    return 0;
}

t2 sorting

【问题描述】

小f不喜欢递减,他会想尽一切办法将看到的一切东西排序!
现在小f得到了一个数列,他当然要将这个数列排序了,但他太累了,以至于最多只能交换其中两个元素,如果这样不能使得这个数列不递减,他就要先睡觉了。你能告诉他是否可行吗?

【输入格式】

第一行:一个整数n表示小f的数列中数的个数。
第二行,n个正整数,描述小f的数列。

【输出格式】

一行,yes或no,表示通过一次“最多交换其中两个元素(可以不交换)”的操作,是否可使得小f的数列不递减。

【样例1】

样例输入
3
1 3 1
样例输出
yes

数据规模与约定

\(30\%的数据,n ≤ 10^2 。\)
\(60\%的数据,n ≤ 10^4 。\)
\(100\%的数据,n ≤ 10^5 ,所有数为正整数且在longint范围内。\)

题解

是的,本蒟蒻又一次和ac插肩而过。拿到这道题时,大多数人都会联想到逆序对和最长不降子序列问题,然而几组充分设置的样例就可以卡掉这两种思路,使得其得分甚至不如60分的暴力。
附六十分的暴力写法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    puts("yes");
    return 0;
}

对于lis来说,改变一个数有时可以导致多对大小关系的改变;对于逆序对来说,逆序对个数不一定可以决定最终大小关系。对两种思路最好的反驳样例如下:
|5 3 2
|-
在排除了这样的思路后,蒟蒻的我开始思考自己的做法。我们直接从头往后寻找第一对不满足条件的组合\(a_i,a_{i-1}\)。此时我们取出\(a_i\),从头往后将其与第一个大于他的值交换。此时我们再重新在原串中查找是否存在不合法情况,若存在则输出no,否则输出yes。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
inline char get(){
    static char buf[30],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,30,stdin),p1==p2)?eof:*p1++;
}
inline long long read(){
    register char c=get();register long long f=1,_=0;
    while(c>'9' || c<'0')f=(c=='-')?-1:1,c=get();
    while(c<='9' && c>='0')_=(_<<3)+(_<<1)+(c^48),c=get();
    return _*f;
}
long long n;
long long a[maxn];
long long ans=0;
bool cd=1;
int main(){
    //freopen("sorting.in","r",stdin);
    //freopen("sorting.out","w",stdout);
    n=read();
    for(register long long i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(register long long i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]<a[i-1]){
            for(register long long j=1;j<=n;j++){
                if(a[j]>a[i]){
                    swap(a[i],a[j]);
                    goto next;
                }
            }
        }
    }
    next:;
    for(register long long i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]<a[i-1]){
            puts("no");
            return 0;
        }
    }
    puts("yes");
    return 0;
}

为什么我们选择了这样一个奇怪的算法呢?事实上,在比赛中选择算法的第一原则是能否证明其错误性。在这道题中,蒟蒻无法证明该算法是错误的,于是就这么得到了85分的安慰分。
其实题目已经提示得很明显了。sorting,就是在暗示我们进行一次排序操作。我们只需要比较排序前后的两个两个序列,若其中同一位置不一样的元素的个数在两个以内(一次交换最多导致4对大小关系发生改变),则输出yes,否则就记其为非法情况,输出no。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[2111111],a[2111111];
int n;
int main(){
    freopen("sorting.in","r",stdin);
    freopen("sorting.out","w",stdout);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+1+n);
    int len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]!=b[i])len++;
        if(len>2){
            cout<<"no"<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<"yes"<<endl;
    return 0;
}

t3 editor

【问题描述】

\(f\)有一个梦想:为数列写一个最强大的编辑器!
一开始,数列为空,光标在开头位置,小f的编辑器要对这个数列作如下五种操作:
i x:在光标的后面插入一个数字x,并将光标移到这个新加入的\(x\)后。
d:删除光标前的最后一个数字(保证存在),光标位置不变。
l:光标左移一位,如果已经在开头则不做任何事。
r:光标右移一位,如果已经在结尾则不做任何事。
q k:编辑器需要给出\(a_1,a_2 ··· a_k\)的最大前缀和(前缀长度不能为0),保证\(1 ≤ k ≤ n\),其中\(n\)为当
前光标前的数字个数。

【输入格式】

第一行,一个整数\(q\),表示操作的总次数。
\(q\)行,每行是上列五种操作中的一种。

【输出格式】

对每个\(q\)操作,输出一行一个整数,表示答案。

【样例输入1】

8
i 2
i -1
i 1
q 3
l
d
r
q 2

【样例输出1】

样例输出
2
3

【数据规模与约定】

$ 1\le q \le 1000000,-1000 \le m \le 1000 $

【题解】

模拟题,注意一下优化就好。本蒟蒻的代码风格太丑因此在此不予贴出。