《编程机制探析》第十六章 树形递归

《编程机制探析》第十六章 树形递归

上一章我们讲解了线性递归，使用的是各种资料中用得最多、最为经典的例子——阶乘（Factorial）算法。
本章讲解递归结构中比较复杂的树形递归，同样使用各种资料中用得最多、最为经典的例子——斐波那契（Fibonacci）数列。
典型的斐波那契（Fibonacci）数列问题是这么描述的：有一种母牛，出生后第三年，开始生育，每年都生一头母牛（貌似单性生育，这里就没公牛什么事儿）；生出来的小母牛也符合同样的规律，出生后第三年，开始生育，每年都生一头母牛；该种母牛是永生的，而且永远拥有生育能力，生命不止，生育不止，生生不息。第一年时，只有一头母牛。请问第n年时，共有母牛多少头？
第一年和第二年时，母牛A还没有进入生育期，只有一头。
第三年，母牛进入生育期，生了一头小母牛B，共有两头母牛。
第四年，母牛A稳定生育，又增加一头小母牛C。小母牛B还未进入生育期，没有生母牛。共有母牛三头。
第五年，母牛A稳定生育，又增加一头小母牛D。小母牛B进入生育期，又增加一头小母牛E。C还未进入生育期，没有生母牛。共有母牛五头。
第六年，小母牛C进入生育期。该母牛种群开始进入爆发式增长。共有母牛8头。
第七年，13头。
第八年，21头。
第九年，….
我们可以用一个母牛生育表，来记录每年的生育期母牛头数和非生育期母牛头数，并统计统计每年的母牛总头数。
这里面的规律是，从第三年起，每过一年，上一年生育期母牛会生出同样数量的未生育期母牛。同时，上一年的未生育期母牛全部变成生育期母牛。
即，每过一年。
生育期母牛的个数 = 上一年生育期母牛的个数 + 上一年未生育期母牛的个数。
未生育期母牛的个数 = 上一年生育期母牛的个数。
母牛总数 =生育期母牛的个数 + 未生育期母牛的个数
表格数据如下：
年数 生育期母牛 未生育期母牛 母牛总数
1 0 1 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4 2 1 3
5 3 2 5
6 5 3 8
7 8 5 13
8 13 8 21
9 21 13 34
10 34 21 55
我们观察母牛总数那一列。1,1,2,3,5,8,13,,21,34, 55…
可以发现这样的规律，从第三个数字开始，每个数字都等于前两个数字的和。
注：这个规律可以直接看出来，也可以通过前面的算式推导出来。
用公式表达就是这样：
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
符合这种规律的数列，就叫做斐波那契（Fibonacci）数列。根据公式，我们很容易就得出递归算法。
int fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  return result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
显然，这是一个树形递归。算法的空间和时间复杂度都很高，随着n的增大，呈指数增长。
递归调用的过程中，运行栈的伸缩次数是多次的，不断地压栈，出栈，再压栈，出栈。
很容易就可以看出，这个算法中充满了重复计算。
计算fibonacci(5)的时候，先计算 fibonacci(4)，然后计算 fibonacci(3)；
计算fibonacci(4) 的时候，先计算fibonacci(3)，然后计算 fibonacci(2)；….
fibonacci(4)完成了之后，fibonacci(5)再接着计算fibonacci(3)，而全然不顾fibonacci(3)已经算过一遍的事实。
如果我们把这个算法转换成尾递归，就可以有效地消除重复计算的情况。如何转换呢？我们命令式首先想到的就是用循环实现fibonacci算法，然后，转换成尾递归。这种方法很有效。因为Fibonacci算法不复杂，可以比较容易地用循环来实现，只需要用一个数据结构来存放f(n-1)和f(n-2)的计算结果就行了。
这种思路对于命令式程序员来说，是驾轻就熟了。现在，既然我们将要学习和使用函数式编程。我们就试图采用函数式程序员的思路。我们直接从现有的递归算法转换。
上一章我们已经讲述过尾递归转换的通用思路：尾递归只是最后一步操作，所有的计算都在之前完成，然后，计算结果作为参数传递到最后的尾递归操作中。递归函数在入口处就需要根据传进来的参数（上一次计算的结果和当前步骤）来判断是否继续递归，还是直接返回结果。有了这样的思路之后，我们先来分析前面的递归算法，抽离出中间计算结果。
int fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  int result1 = fibonacci(n - 1);
  int result2 = fibonacci(n - 2);

  int result = result1 + result2;
  return result;
}
我们需要把计算结果result1和result2作为参数。算法改造如下：
int fibonacci(int i, int result1, int result2, int n){
  int result = result1 + result2; // f(i) = f(i-1) + f(i – 2)

  if(i >= n)  // i 表示当前步骤。
return result;

int j = i + 1;  // i = j -1
  nextResult1 = result; // f(j - 1) = f(i)
  nextResult2 = result1; // f(j - 2) = f(i – 1)
  return fibonacci(j, nextResult1, nextResult2, n);
}
这就是一个尾递归算法，消除了重复计算的问题。因为我们把前两步的计算结果保存了起来，并作为参数传到下一次递归。
这个尾递归的包装函数如下：
int neat_fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  return fibonacci(3, 1, 1, n);
}
在上述的尾递归算法中，我们引入了参数i来表示当前计算步骤，还特意声明了一个变量j来表示i的下一步（j = i + 1），这是为了使得代码更加清晰易读。实际上，同上一章的尾递归例子一样，参数i是可以省略的。写法如下：
int fibonacci(int result1, int result2, int n){
  int result = result1 + result2; // f(i) = f(i-1) + f(i – 2)

  if(n <= 3)  // i 表示当前步骤。
return result;

int j = i + 1;  // i = j -1
  int nextResult1 = result; // f(j - 1) = f(i)
  int nextResult2 = result1; // f(j - 2) = f(i – 1)
  return fibonacci(nextResult1, nextResult2, n);
}
其包装函数为：
int neat_fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  return fibonacci(1, 1, n);
}
这种尾递归虽然少了一个参数，但是可读性明显差了许多。
上述两种尾递归写法都可以转换成循环，由于第一种尾递归可读性明显更好，我们就根据它来改造。
尾递归改造成循环，和循环改造成尾递归的过程正好相反。我们需要把参数变成一个局部变量的存储结构，循环体使用这个存储结构来存放中间结果。代码如下：
int fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  int result1 = 1;
  int result2 = 1;
  int result = 0;
  for(int i = 3; i <= n; i++){
result = result1 + result2; // f(i) = f(i – 1) + f(i – 2)

// 以下的代码是为下一步准备的。假设 j = i + 1
result1 = result; // f(j -1) = f(i)
result2 = result1; // f(j – 2) = f(i -1)
  }
  return result;
}
以上就是Fibonacci常规问题的常规解法，常见于各种资料。本章只不过对这个问题进行了综合剖析和进一步发挥。下面，我将对Fibonacci常规问题进行扩展，并给出相应算法和对应的数据结构。
首先，我们回顾一下Fibonacci问题的常规描述：
1头母牛，出生后第3年，就开始每年生1头母牛，按此规律，第n年时有多少头母牛。
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
Fibonacci数列看起来是这样：1,1,2,3,5,8,13,,21,34........
现在，我们对该问题进行一个小小的条件改变，对母牛品种进行一个小小的改造。我们嫌母牛成长得太快了。现在，我们培育出一种新的变种母牛（姑且命名为变种A），这种母牛第四年才开始生育。这就产生了一个Fibonacci问题的变种，姑且称之为Fibonacci问题变种A。
Fibonacci问题变种A描述：
1头母牛，出生后第4年，就开始每年生1头母牛，按此规律，第n年时有多少头母牛。
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-3)
Fibonacci变种A数列：1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9,13,19,28........
变种A成功之后，我们受到鼓舞，又依次研究出其他的变种母牛。
变种B：第五年开始生育。
变种C：第六年开始生育。
……
最后，我们研制出所有的变种，可以任意控制母牛在几岁开始生育。这就得到了Fibonacci问题通用描述：
1头母牛，出生后第x年，就开始每年生1头母牛，按此规律，第n年时有多少头母牛。
令k = x - 1
f(1)=1
…
f(k)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-k)
我们如何为这个Fibonacci问题通用版本编写算法。首先，树形递归算法最容易，也最简洁。
int fibonacci(int n, int k){
  if(n <= k)
return 1;

  int result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n – k);
}
那么，我们该如何把这个树形递归算法修改成尾递归算法和循环算法呢？我们遇到的主要问题就是缓存中间计算结果。这里，我们只保存前两步的计算结果，已经不够了。我们需要保存前k步的计算结果。这就是说，我们需要一个长度为k的存储结构，其中存放着前k步的计算结果。
假设当前计算步骤为i，那么，该存储结构内就存放了从f(i - k)一直到f(i – 1)的结果。当计算步骤向前推进时，存储结构的数据也向前推进。比如，当计算步骤推进到 j = i + 1时，存储结构内的数据就变成从 f(j – k) 到 f(j – 1)。
该存储结构的特征总结如下：其存储容量不定，由k参数定义；其存储内容跟随当前计算步骤而移动。
为了解决这个问题，我们引入一个叫做LinkedQueue的类。这个类是一个用链表结构实现的队列结构。关于队列结构，我们前面提到过，这是一种先入先出的数据结构，与栈结构相对。关于队列结构和链表结构的知识很简单，请读者自行补充。
LinkedQueue提供了如下方法：
LinkedQueue(int k)
int removeHead()
int getTail()
void addTail(int result)
构造函数LinkedQueue(int k)接受一个参数k，进行初始化，在内部生成一个长度为k的、元素类型为整数的链表结构，每个整数元素的值都是1。这代表着f(1)到f(k)的值。
removeHead方法直接取出头部元素（一个整数），队列长度减一。
getTail方法取出尾部元素的值（一个整数），并不取出元素本身，队列长度不变，内容不变。
addTail方法在尾部增加一个整数作为队列元素，队列长度加一。
这个数据结构的实现基于一种叫做双向链表的结构，即，每个结点都保留着前一个结点和后一个结点的引用。从而既可以在头部增删改，也可以在尾部增删改。
另外一种等价实现是一个长度为K的环形数组，这种实现在空间和时间效率上都很高。
这两种数据结构的实现都不难，不再赘述。
有了这个数据结构，我们就可以轻松写出通用fibonacci问题的尾递归算法。
int fibonacci(int i, LinkedQueue results, int n, int k){
  int resultK = results.removeHead();  // f(i – k)
  int result1 = results.getTail(); // f(i – 1)
  int result = result1 + resultK;  // f(i) = f(i-1) + f(i – k)
  if(i >= k)
return result;

  results.addTail(result);

  return fibonacci(i + 1, results, n, k);
}
其包装函数为：
int neat_fibonacci(int n, int k){
  if(n <= k)
return 1;

  LinkedQueue = new LinkedQueue(k);
  return fibonacci(k + 1, results, n, k);
}
下面我们把它改成循环。同样是把递归体变成循环体，参数变成循环体外的局部变量。
int fibonacci(int n, int k){
  if(n <= k)
return 1;

  LinkedQueue = new LinkedQueue(k);

  for(int i = k; i <= n; i++){
  int resultK = results.removeHead();  // f(i – k)
    int result1 = results.getTail(); // f(i – 1)
    int result = result1 + resultK;  // f(i) = f(i-1) + f(i – k)
    results.addTail(result);
  }

  return result;
}
这样，我们就完成了fibonacci通用问题的通用算法。当k = 2时，就是我们一开始遇到的常规fibonacci问题。
fibonacci问题虽然不是一个太难的算法，但毕竟还是浪费了我们一点脑细胞。有没有一种通用的方法来解决树形递归中的重复计算问题呢？
有。那就是使用缓存。如果你不在意内存的话。
比如，我们可以把前面的fibonacci常规问题的树形递归算法写成这样：
int neat_ fibonacci(int n){
  if(n < 3)
return 1;

  int[] resultTable = new int[n];
  for(i = 1; i <= n; i++){
    resultTable[i] = 0;
  }
 
  fibonacci(n, resultTable);
}

int fibonacci(int n, int[] resultTable){
  if(n < 3)
return 1;

  int cached = resultTable[n];
  if(cached != 0)
return cached;

  int result1 = fibonacci(n - 1);
  int result2 = fibonacci(n - 2);

  int result = result1 + result2;
  resultTable[n] = result;
  return result;
}
通用fibonacci问题的树形递归算法也可以这样写：
int neat_ fibonacci(int n, int k){
  if(n <= k)
     return 1;

  int[] resultTable = new int[n];
  for(i = 1; i <= n; i++){
    resultTable[i] = 0;
  }
 
  return fibonacci(n, resultTable);
}

int fibonacci(int n, int k, int[] resultTable){
  if(n <= k)
return 1;

  int cached = resultTable[n];
  if(cached != 0)
return cached;

  int result1 = fibonacci(n - 1);
  int resultK = fibonacci(n - k);

  int result = result1 + resultK;
  resultTable[n] = result;
  return result;
}