蓝桥杯 - [历届试题]小朋友排队(逆序对 树状数组|归并排序)

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问题描述

　　n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。
　　每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是0。
　　如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加2（即不高兴程度为3），依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时，他的不高兴程度增加k。
　　请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。
　　如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示小朋友的个数。
　　第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn，分别表示每个小朋友的身高。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

样例输入

3
3 2 1

样例输出

9

样例说明

　　首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

数据规模和约定

对于10%的数据， 1<=n<=10;
对于30%的数据， 1<=n<=1000;
对于50%的数据， 1<=n<=10000;
对于100%的数据，1<=n<=100000，0<=Hi<=1000000。

解题思路

每个小朋友被更换的次数等于左边比Ta大的个数加上右边比Ta小的个数，所以我们可以求出每个元素所产生的逆序对。求逆序对可以用树状数组求，也可以用归并排序求。

树状数组:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
int bits[MAXN * 10], ans[MAXN], s[MAXN];
int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
void Update(int i, int n) {
    while (i <= n) {
        bits[i]++;
        i += lowbit(i);
    }
}
long long Query(int i) {
    long long cnt = 0;
    while (i >= 1) {
        cnt += bits[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return cnt;
}
int main() {
    int n;
    long long cnt = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &s[i]);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Update(s[i] + 1, MAXN * 10 - 50);//+1是防止出现s[i]等于0的情况
        ans[i] += i - Query(s[i] + 1) + 1;//左边比Ta大的个数
    }
    memset(bits, 0, sizeof(bits));
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        Update(s[i] + 1, MAXN * 10 - 50);
        ans[i] += Query(s[i]);//右边比Ta小的个数
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cnt += 1ll * ans[i] * (ans[i] + 1) >> 1;//等差数列求出每个小朋友不高兴程度
    printf("%lld\n", cnt);
    return 0;
}

 归并排序:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
long long ans[MAXN];
struct edge {
    int id, num;
}A[MAXN];
void Merge(int L, int Mid, int R) {
    edge *Temp = (edge *)malloc((R - L + 1) * sizeof(edge));
    int p = L, q = Mid, k = 0;
    while (p <= Mid - 1 && q <= R) {
        if (A[p].num <= A[q].num) {
            ans[A[p].id] += q - Mid;//相对于p来说q前面的都比p小，加上
            Temp[k++] = A[p++];
        }
        else {
            ans[A[q].id] += Mid - p;//相对于q来说p后面的都比q大，加上
            Temp[k++] = A[q++];
        }
    }
    while (p <= Mid - 1) {
        ans[A[p].id] += q - Mid;//同理
        Temp[k++] = A[p++];
    }
    while (q <= R)
        Temp[k++] = A[q++];
    for (int i = 0; i < k; i++)
        A[i + L] = Temp[i];
}
void MSort(int L, int RightEnd) {
    if (L < RightEnd) {
        int mid = (L + RightEnd) / 2;
        MSort(L, mid);
        MSort(mid + 1, RightEnd);
        Merge(L, mid + 1, RightEnd);
    }
}
int main() {
    int n;
    long long cnt = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &A[i].num);
        A[i].id = i;
    }
    MSort(0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cnt += (ans[i] + 1) * ans[i] / 2;
    printf("%lld\n", cnt);
    return 0;
}