C++用归并算法求逆序对

原题目：

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 a_i>a_ja 且
i<ji<j 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数>序列中逆序对的数目。

输入格式 第一行，一个数 n，表示序列中有 n个数。

第二行 nn 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 10^910 9 。

输出格式 输出序列中逆序对的数目。

样例：

输入

6
5 4 2 6 3 1

输出

11

我先来介绍一下归并排序

时间复杂度：
O(n log n)

空间复杂度:
O(n)

定义：
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法采用的是分治法（二分法）。

设n为序列元素的个数，a[i]为其中第i个元素，msort为归并排序的函数名，b[i]为两个相邻的子序列合并完的临时有序序列

1.将一个序列进行二分，直到分解成n个元素（l == r）

如代码：

int mid = (l + r) / 2;//取中间 
if(l == r)//若l == r了，就代表这个子序列就只剩1个元素了，需要返回 
{
    return;
}
else
{
    msort(l, mid);//分成l和中间一段，中间 + 1和r一段（二分） 
    msort(mid + 1, r);
}

2.将已有序的子序列合并（二分到最后的时候，一个元素一定是有序的），得到完全有序的序列

如代码：

int i = l;//i从l开始，到mid，因为现在排序的是l ~ r的区间且要二分合并 
int j = mid + 1;//j从mid + 1开始，到r原因同上
int t = l;//数组b的下标，数组b存的是l ~ r区间排完序的值 
while(i <= mid && j <= r)//同上i，j的解释 
{
    if(a[i] > a[j])//如果前面的元素比后面大(l ~ mid中的元素 > mid + 1 ~ r中的元素)(逆序对出现!!!) 
    { 
        ans += mid - i + 1;//由于l ~ mid和mid + 1 ~ r都是有序序列所以一旦l ~ mid中的元素 > mid + 1 ~ r中的元素而又因为第i个元素 < i + 1 ~ mid那么i + 1 ~ mid的元素都 > 第j个元素。所以+的元素个数就是i ~ mid的元素个数，及mid - i + 1(归并排序里没有这句话，求逆序对里有) 
        b[t++] = a[j];//第j个元素比i ~ mid的元素都小，那么第j个元素是目前最小的了，就放进b数组里 
        ++j;//下一个元素(mid + 1 ~ r的元素小，所以加第j个元素) 
    }
    else
    {
        b[t++] = a[i];//i小，存a[i] 
        ++i;//同理 
    }
}
while(i <= mid)//把剩的元素(因为较大所以在上面没选) 
{
    b[t++] = a[i];//存进去 
    ++i; 
}
while(j <= r)//同理 
{
    b[t++] = a[j];
    ++j;
}

将已有序的b数组赋值到a数组（原数组）里

如代码：

for(register int i = l; i <= r; ++i)//把有序序列b赋值到a里 
{
    a[i] = b[i];
}

手动模拟一下样例（以便更好的理解算法）：
二分时，奇数时默认取左边n / 2 + 1,右边取n / 2了（为了方便）

那么我们开始合并（只能同一层合并，并向上传递,我把后面两个while循环在合并中省去了）

1.第四层5和4合并：i = l = 1；mid = (l + r) / 2 = 1；r = 2；j = mid + 1 = 2；5 > 4；逆序对数量 + mid - i + 1 = 1；b数组：4 5 0 0 0 0； j + 1 > r; 退出；a数组：4 5 2 6 3 1;

2.第四层6和3合并：i = l = 4；mid = (l + r) / 2 = 4；r = 5；j = mid + 1 = 5; 6 > 3；逆序对数量 + mid - i + 1 = 2；b数组：4 5 0 3 6 0；j + 1 > r; 退出；a数组：4 5 2 3 6 1；

3.第三层4, 5和2合并： i = l = 1；mid = (l + r) / 2 = 2；r = 3；j = mid + 1 = 2；4 > 2; 逆序对数量 + mid - i + 1 = 4；b数组：2 4 5 3 6 0；j + 1 > r；退出；a数组：2 4 5 3 6 1；

4.第三层3, 6和1合并：i = l = 4；mid = (l + r) / 2 = 5；r = 6；j = mid + 1 = 6；3 > 1；逆序对数量 + mid - i + 1 = 6；b数组：2 4 5 1 3 6；j + 1 > r；退出；a数组：2 4 5 1 3 6；

5.第二层2, 4，5和1, 3，6合并：i = l = 1；mid = (l + r) / 2 = 3；r = 6；j = mid + 1 = 4；2 > 1； 逆序对数量 + mid - i + 1 = 9；b 数组：1 2 4 5 3 6；j + 1；2 < 3；b数组：1 2 4 5 3 6；i + 1；4 > 3；逆序对数量 + mid - i + 1 = 11；b数组：1 2 3 4 5 6；j + 1；4 < 6；b数组：1 2 3 4 5 6；i + 1；5 < 6；b数组：1 2 3 4 5 6；i + 1 > mid；退出； a数组：1 2 3 4 5 6（有序）

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[5000001], b[5000001];
long long ans;
inline void msort(int l, int r)//归并排序
{
    int mid = (l + r) / 2;//取中间 
    if(l == r)//若l == r了，就代表这个子序列就只剩1个元素了，需要返回 
    {
        return;
    }
    else
    {
        msort(l, mid);//分成l和中间一段，中间 + 1和r一段（二分） 
        msort(mid + 1, r);
    }
    int i = l;//i从l开始，到mid，因为现在排序的是l ~ r的区间且要二分合并 
    int j = mid + 1;//j从mid + 1开始，到r原因同上
    int t = l;//数组b的下标，数组b存的是l ~ r区间排完序的值 
    while(i <= mid && j <= r)//同上i，j的解释 
    {
        if(a[i] > a[j])//如果前面的元素比后面大(l ~ mid中的元素 > mid + 1 ~ r中的元素)(逆序对出现!!!) 
        { 
            ans += mid - i + 1;//由于l ~ mid和mid + 1 ~ r都是有序序列所以一旦l ~ mid中的元素 > mid + 1 ~ r中的元素而又因为第i个元素 < i + 1 ~ mid那么i + 1 ~ mid的元素都 > 第j个元素。所以+的元素个数就是i ~ mid的元素个数，及mid - i + 1(归并排序里没有这句话，求逆序对里有) 
            b[t++] = a[j];//第j个元素比i ~ mid的元素都小，那么第j个元素是目前最小的了，就放进b数组里 
            ++j;//下一个元素(mid + 1 ~ r的元素小，所以加第j个元素) 
        }
        else
        {
            b[t++] = a[i];//i小，存a[i] 
            ++i;//同理 
        }
    }
    while(i <= mid)//把剩的元素(因为较大所以在上面没选) 
    {
        b[t++] = a[i];//存进去 
        ++i; 
    }
    while(j <= r)//同理 
    {
        b[t++] = a[j];
        ++j;
    }
    for(register int i = l; i <= r; ++i)//把有序序列b赋值到a里 
    {
        a[i] = b[i];
    }
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    msort(1, n);//一开始序列是1 ~ n 
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}