机器学习-逻辑回归

程序员文章站 2022-05-02 16:35:08

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更多源码及训练、测试数据：https://github.com/Azure-Sky-L/Machine-learning

逻辑回归主要思想：针对现有数据对分类边界建立回归公式，以此进行分类。

回归表示最佳拟合就是寻找能最好拟合数据的参数。

机器学习-逻辑回归

自变量为任意实数，值域为为[0,1]
解释：将任意的输入映射到[0,1]区间，我们在线性回归中可以得到一个预测值，再将该值映射到 Sigmoid 函数中，这样就完成了由值到概率的转换，也就是分类任务

机器学习-逻辑回归

推导过程：
机器学习-逻辑回归

分类任务：

P(y = 1 | x;θ) = $h_{θ} (x)$
P(y = 0 | x;θ) = 1 - $h_{θ} (x)$

整合：
P(y | x;θ) = $(h_{θ} (x))^{y} (1 - h_{θ} (x))^{1 - y}$
对于二分类任务（0，1）整合后：
y 取 0只保留： $(1 - h_{θ} (x))^{1 - y}$
y 取1只保留： $(h_{θ} (x))^{y}$
似然函数：
求导过程：
参数更新：
$θ_{j} := θ_{j} - α \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{n} (h_{θ} (x_{i}) - y_{i}) x_{i}^{j}$
- α ：学习率，更新的力度（不能大，不能小）
- $(h_{θ} (x_{i}) - y_{i}) x_{i}^{j}$ : 偏导方向
- $α \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{n} (h_{θ} (x_{i}) - y_{i}) x_{i}^{j}$ : 更新的结果值
对于二分类使用上述方法，多分类怎么办呢？

实现过程：

#三大件
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
#%将那些用matplotlib绘制的图显示在页面里而不是弹出一个窗口
%matplotlib inline

import os
# os.sep是目录连接符lunux下是/ ；window下是\\,读取是相对路径 data\\LogiReg_data.txt
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
#显示头五行数据
pdData.head()

机器学习-逻辑回归

# 查看矩阵的shape
pdData.shape

（100，3）

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples
#将数据的分布，绘画显示
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

机器学习-逻辑回归

#在数据第一列加入全为 1 的新列
pdData.insert(0, 'Ones', 1)
orig_data = pdData.as_matrix()
cols = orig_data.shape[1]
# 获取特征矩阵
X = orig_data[:,0:cols-1]
# 获取标签矩阵
y = orig_data[:,cols-1:cols]
# 初始化参数矩阵
theta = np.zeros([1, 3])

逻辑回归要实现的目标：
- 建立分类器:
  - 因为数据有两个特征，所以假设函数为： $y = θ_{0} + θ 1_{x} 1 + θ 2_{x} 2$
  - 求 $θ_{0}, θ_{1}, θ_{2} (θ_{0}$ 对应偏执项)
  - 为了求解，引入 $x_{0}$ = 1(即加入全为1的一列)
  - 即 $y = θ_{0} x_{0} + θ_{1} x_{1} + θ_{2} x_{2} = θ^{T} x$
设定阈值: 根据阈值判断录取结果
要完成的模块：
- sigmoid : 映射到概率的函数
- model : 返回预测结果值(矩阵乘法 $θ^{T} x$ )
- cost : 根据参数计算损失(对数似然函数的负值的平均值，用于评测算法，越小越好)
- gradient : 计算每个参数的梯度方向
- descent : 进行参数更新
- accuracy: 计算精度

# sigmoid
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# model
def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

cost(损失函数)：
- 将对数似然函数去负号：
  - $L （ h_{θ} (x), y ） = - y l o g (h_{θ} (x)) - (1 - y) l o g (1 - h_{θ} (x))$
- 计算平均值：
  - $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} L （ h_{θ} (x), y ）$

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

计算梯度：
- $\frac{\partial j}{\partial θ_{j}} = - \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - h_{θ} (x_{i})) x_{i j}$

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)

    return grad

比较三种不同梯度下降方法

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

#洗牌，每次梯度下降取样本前要把数据集的顺序打乱
#使得模型的泛化能力更强
def shuffleData(data):
    # 随机排序函数shuffle
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解

    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值


    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 

        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break

    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

# 将迭代的过程以图表的形式展示
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    #执行一次梯度下降
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

每次迭代都遍历所有的样本
STOP_ITER 按迭代次数进行停止
- 迭代次数 thresh=5000
学习率：alpha=0.000001

#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

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STOP_COST 根据损失值停止
设定阈值为 $1 e^{- 6}$ ,差不多需要110 000 次迭代
学习率：alpha=0.001
这种策略虽然准确度较高，但是迭代次数多，计算量大

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

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STOP_GRAD ：根据梯度变化停止
设定阈值 thresh=0.05，差不多需要 40 000 次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

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1 ：每次迭代一个样本
模型很不稳定，效果很不好

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

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迭代次数增多：thresh=15000
alpha=0.000002：把学习率调小一些

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

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16 ：一次迭代 16 个

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

机器学习-逻辑回归

浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。
解决数据浮动：
- 先改数据
- 再改模型

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！所以对数据做预处理是非常重要的。

机器学习-逻辑回归

用batch的更合适 (随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多)

runExpe(scaled_data, theta,16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

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精度
设定阈值为：0.5 ：
- 即预测概率大于等于0.5的值为1，小于0.5的值为0，来进行分类

def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

常用数学符号的 LaTeX 表示方法

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逻辑回归主要思想：针对现有数据对分类边界建立回归公式，以此进行分类。

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