机器学习——逻辑回归
逻辑回归(Logistic Regression)
概述
假设现在有一些数据点,用一条直线对这些点进行拟合(该线称为最佳拟合直线),这个拟合过程就称为回归。
利用逻辑回归进行分类的主要思想是:根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。
算法流程
收集数据:采用任意方法收集数据
准备数据:由于需要进行距离计算,因此要求数据类型为数值型。另外,结构化数据格式则最佳
分析数据:采用任意方法对数据进行分析
训练算法:大部分时间将用于训练,训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数
测试算法:一旦训练步骤完成,分类将会很快
使用算法:首先,需要输入一些数据,并将其转换成对应的结构化数值;接着,基于训练好的回归系数就可以对这些数值进行简单的回归计算,判定它们属于哪个类别;在这之后,就可以在输出的类别上做一些其他分析工作
基于逻辑回归和Sigmoid函数的分类
逻辑回归
优点:计算代价不高,易于理解和实现
缺点:容易欠拟合,分类精度可能不高
适用数据类型:数值型和标称型数据
我们想要的函数应该是,能接受所有的输入然后预测出类别。例如,对于而分类问题,该函数应该返回0或1。具有这种性质的函数称为海维塞德阶跃函数(Heaviside step function),或直接称为单位阶跃函数。海维塞德阶跃函数的问题在于:该函数在跳跃点上从0瞬间跳跃到1,这个瞬间跳跃过程有时很难处理。
Sigmoid函数是一个S型曲线,其函数形式为:
当输入z等于0时,Sigmoid函数值为0.5。随着z的增大,对应的函数值趋近于1;随着z的减小,对应的函数值趋近于0。
基于最优化方法的最佳回归系数确定
训练算法:适用梯度上升找到最佳参数
梯度上升法基于的思想是:要找到某函数的最大值,最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。
梯度上升法的伪代码:
每个回归系数初始化为1
重复R次:
计算整个数据集的梯度
适用alpha x gradient 更新回归系数的向量
返回回归系数
import numpy as np
def loadDataSet():
'''
加载数据集
'''
dataMat = []
labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat, labelMat
def sigmoid(inX):
'''
S函数
'''
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
'''
梯度上升算法
param dataMatIn: 特征值
param classLabels: 标签
'''
# 特征值矩阵
dataMatix = np.mat(dataMatIn)
# 标签矩阵;行向量转置为列向量
labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
# 获取特征值矩阵大小
m, n = np.shape(dataMatix)
# 移动步长
alpha = 0.001
# 迭代次数
maxCycles = 500
# 回归系数初始化为1
weights = np.ones((n, 1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatix * weights)
error = (labelMat - h)
weights = weights + alpha * dataMatix.transpose() * error
return weights
dataArr, labelMat = loadDataSet()
weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
weights
[out]
matrix([[ 4.12414349],
[ 0.48007329],
[-0.6168482 ]])
分析数据:画出决策边界
def plotBestFit(weights):
'''
画出数据集和逻辑回归最佳拟合直线
'''
import matplotlib.pyplot as plt
dataMat, labelMat = loadDataSet()
dataArr = np.array(dataMat)
n = np.shape(dataMat)[0]
xcord1 = []
ycord1 = []
xcord2 = []
ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i, 1])
ycord1.append(dataArr[i, 2])
else:
xcord2.append(dataArr[i, 1])
ycord2.append(dataArr[i, 2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.show()
plotBestFit(weights.getA())
训练算法:随机梯度上升
梯度上升算法每次更新归回系数时都需要遍历整个数据集,数据量较小时尚可,但如果有数十亿样本和上千万特征,那么该方法的计算复杂度就太高了。一种改进方法是以此仅用一个样本点来更新回归系数,该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新,因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与“在线学习”相对应,一次处理所有数据被称作是“批处理”。
随机梯度算法伪代码:
所有回归系数初始化为1
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
适用 alpha x gradient 更新回归系数值
返回回归系数值
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
'''
随机梯度上升算法
'''
m, n = np.shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
weights = np.ones(n)
for i in range(m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error = classLabels[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights
测试随机梯度上升算法
从结果上来看,拟合出来的直线效果还不错,但不像前面那么完美。这里的分类器错分了三分之一的样本。
但是前面的结果时迭代了500次才得到的。
dataArr, labelMat = loadDataSet()
weights = stocGradAscent0(np.array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights)
对算法进行改进,增加迭代次数
import random
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
m, n = np.shape(dataMatrix)
weights = np.ones(n)
for j in range(numIter):
dataIndex = range(m)
for i in range(m):
# 每次迭代时更新 alpha 值
alpha = 4 / (1.0 + j + i) + 0.01
# 随机选取更新
randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex] * weights))
error = classLabels[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights
测试算法
发现经过默认150次迭代后,拟合直线与前面已经差不多了。
dataArr, labelMat = loadDataSet()
weights = stocGradAscent1(np.array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights)
示例:从疝气病症预测病马的死亡率
使用逻辑回归来预测患有疝气病的马的存活问题。
测试集
训练集
收集数据:给定数据文件。
准备数据:用python解析文本文件并填充缺失值。
分析数据:可视化并观察数据。
训练算法:使用优化算法,找到最佳的系数。
测试算法:为了量化回归的效果,需要观察错误率。根据错误率决定是否回退到训练阶段,通过改变迭代的次数和步长等参数来得到更好的回归系数。
使用算法:实现一个简单的命令行程序来收集马的症状
准备数据:处理缺失值
处理缺失值可选的做法:
使用可用特征的均值来填补缺失值
使用特殊值来填补缺失值,如-1
忽略有缺省值的样本
使用相似样本的均值填补缺失值
使用另外的机器学习算法预测缺失值
这里选择实数0来替换所有缺失值,因为使用NumPy数据类型不允许包含缺失值,而0恰好能适用于逻辑回归。回归系数的更新公式如下:
如果dataMatrix的某特征对应值为0,那么该特征的系数不做更新,即:
另外,由于sigmoid(0) = 0.5,即它对结果的预测不具有任何倾向性,因此选择实数0作为缺失值也不会对误差项造成影响。
测试算法:用逻辑回归进行分类
def classifyVector(inX, weights):
'''
逻辑回归分类函数
parameter inX: 特征向量
parameter weights: 回归系数
'''
prob = sigmoid(sum(inX*weights))
if prob > 0.5:
return 1.0
else:
return 0.0
def colicTest():
'''
打开测试集和训练集,并对数据进行格式化处理
'''
frTrain = open('horseColicTraining.txt')
frTest = open('horseColicTest.txt')
trainingSet = []
trainingLabels = []
# 格式化训练集
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr = []
# 导入特征值,有21个特征
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
# 导入类别标签,类别标签为最后一项
trainingLabels.append(float(currLine[21]))
# 使用随机梯度上升算法计算回归系数向量
trainWeights = stocGradAscent1(np.array(trainingSet), trainingLabels, 500)
errorCount = 0
numTestVec = 0.0
# 格式化测试集
for line in frTest.readlines():
numTestVec += 1.0
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr = []
# 导入特征值
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
# 使用训练集计算出的回归系数对测试集进行分类,并比对测试集的类别标签,计算错误数量
if int(classifyVector(np.array(lineArr), trainWeights)) != int(currLine[21]):
errorCount += 1
# 错误率
errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
print 'the error rate of this test is: %f' % errorRate
return errorRate
def multiTest():
'''
调用colicTest函数10次,取错误率平均值
'''
numTests = 10
errorSum = 0.0
for k in range(numTests):
errorSum += colicTest()
print 'after %d iterations the average error rate is: %f' % (numTests, errorSum/float(numTests))
函数测试
10次迭代后,平均错误率为35%。这个结果并不差,因为有30%的缺失值。
如果调整colicTest()中的迭代次数和stocGradAscent1()中的步长,平均错误率还可以下降。
multiTest()
[out]
the error rate of this test is: 0.328358
the error rate of this test is: 0.358209
the error rate of this test is: 0.283582
the error rate of this test is: 0.313433
the error rate of this test is: 0.373134
the error rate of this test is: 0.373134
the error rate of this test is: 0.358209
the error rate of this test is: 0.343284
the error rate of this test is: 0.432836
the error rate of this test is: 0.388060
after 10 iterations the average error rate is: 0.355224
小结
逻辑回归的目的是寻找一个非线性函数Signmoid的最佳拟合参数,求解过程可以由最优化算法来完成。在最优化算法中,最常用的是梯度上升算法,而梯度上升算法又可以简化为随机梯度上升算法。
随机梯度上升算法与梯度上升算法的效果相当,但占用更少的计算机资源。此外,随机梯度上升算法是一个在线算法,它可以在新数据到来时完成参数更新,而不需要重新读取整个数据集来进行批处理运算。