【小技巧】O(1)快速乘

• 问题：求 $a\times b\ mod\ p$a×b mod p，$a,b,p$a,b,p 在 long long 范围内。
• 在 CRT 等算法中应用广泛。
• 为了处理模数在 int 范围外的情况，就是两数相乘可能会爆 long long 时，我们不能直接用整型的乘法来计算。
• 首先我们可以进行二进制拆分，化乘法为加法，类似快速幂那样，写出一个 $O(\log n)$O(logn) 的快速乘

typedef long long s64; 

inline void add(s64 &a, const s64 &b)
{
	a += b; 
	if (a >= mod)
		a -= mod; 
}

inline s64 qmul(s64 a, s64 b, const s64 &mod)
{
	a = (a % mod + mod) % mod; 
	b = (b % mod + mod) % mod; //这两行依据情况不写
	s64 res = 0; 
	for (; b; b >>= 1, add(a, a, mod))
		if (b & 1)
			add(res, a, mod); 
	return res; 
}

• 多次使用时，为了避免毒瘤出题人卡时间（或是为了优化常数），我们可以利用 long double 写出一个优秀的 $O(1)$O(1) 快速乘。
• 简单原理：$a\times b\ mod\ p=a\times b-\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor\times p$a×b mod p=a×b−⌊pa×b​⌋×p
• 利用 long double 来处理这个 $\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor$⌊pa×b​⌋。
• 然后处理一下浮点误差就可以了。
• 模数较大时可能会出锅。
• 不过出锅概率很小

typedef long long s64; 
typedef long double ld; 

inline s64 qmul(s64 a, s64 b, s64 mod)
{
	a = (a % mod + mod) % mod; 
	b = (b % mod + mod) % mod; //这两行依据情况不写
	s64 res = a * b - (s64)((ld)a / mod * b + 1e-8) * mod; 
	return res < 0 ? res + mod : res;  
}