洛谷P4104 [HEOI2014]平衡(dp 组合数学)

题意

题目链接

sol

可以把题目转化为从\([1, 2n + 1]\)中选\(k\)个数，使其和为\((n+1)k\)。

再转化一下：把\((n+1)k\)划分为\(k\)个数，满足每个数在范围在\([1, 2n + 1]\)

这时候就可以用整数划分的思路dp了(然鹅我还是想不出来。。)

因为每个数互不相同，因此我们可以把每个阶段划分出来的数都看做不降的

设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个数，和为\(j\)且满足条件的方案数。

我们考虑最小的数是否是\(1\)

若不是\(1\)，则映射到所有数\(-1\)，也就是\(f[i][j - i]\)

若是\(1\)，这时候相当于对于\(f[i - 1][j - (i-1)]\)的所有数\(+1\)，同时在最前面补上\(1\)，方案为\(f[i - 1][j - i]\)

然后再减去最大的数超过\(2n+1\)的方案，也就是\(f[i][j - (2n + 2)]\)

复杂度\(o(tnk^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define fin(x) freopen(#x".in", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 50001;
int mod;
template<typename a, typename b> inline bool chmax(a &x, b y) {return x < y ? x = y, 1 : 0;}
template<typename a, typename b> inline bool chmin(a &x, b y) {return x > y ? x = y, 1 : 0;}
template<typename a, typename b> inline a mul(a x, b y) {return 1ll * x * y % mod;}
template<typename a, typename b> inline void add2(a &x, b y) {x = x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;}
template<typename a, typename b> inline int add(a &x, b y) {return x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;}
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int fp(int a, int p) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = mul(base, a);
        a = mul(a, a);  p >>= 1;
    }
    return base;
}
int inv(int x) {
    return fp(x, mod - 2);
}
int f[101][100001];
void solve() {
    int n = read(), k = read(); mod = read();
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0] = 1;
    for(int j = 1; j <= (n + 1) * k; j++)
        for(int i = 1; i <= min(j, k); i++) {
            f[i][j] = add(f[i][j - i], f[i - 1][j - i]);
            if(j >= 2 * n + 2) add2(f[i][j], -f[i - 1][j - (2 * n + 2)] + mod);
        }
    cout << f[k][(n + 1) * k] << '\n';
}
signed main() {
    for(int t = read(); t--; solve());
    return 0;
}