随机变量的概率分布学习笔记

作者: kagula

日期: 2020-11-26

 

前言

本文的主要内容是概率分布的入门复习, 聚焦几个重要的基础分布律, 探索下它们的应用.

正文

随机变量

随机变量是实数同某次实验结果的映射, 分为离散型随机变量和连续型随机变量.

若随机变量的取值能跟整数一一对应则称为离散型随机变量, 反之为连续型随机变量.

离散型随机变量的重要属性是分布律, 连续型随机变量的重要属性是概率密度和分布函数.

 离散型随机变量的分布律(又称为分布列, 概率分布)对应连续型随机变量的概率密度, 很多情况下也可以用概率密度代替分布律这种叫法.

离散型随机变量的分布律

分布律

定义:

设X为离散型随机变量, 可能取值为  且

           P{X=}=, k=1,2, …,

则称为X的分布律(或分布列, 或概率分布).

性质:

1. ≧0, k=1,2, …,
2. 

 

图一 离散型随机变量的分布

 

上图, 列出了三种重要的常用离散型随机变量分布及三者之间的关系, 其中最重要的是二项分布, 0-1分布和泊松分布都是它的特殊形式.

图二 二项式分布的定义和图形

 

当二项分布中在变量只取0或1时, 就是0-1分布.

当二项分布中的n特别大,例如大于等于20,  p特别小, 例如小于等于0.05, 为了节约计算资源, 就可以用泊松分布代替二项分布, 算出二项分布的近似值.

二项分布可以用来表达做了n次实验, 每次实验发生的结果只有两种可能1或0, 发生1的概率设为p, 发生0在概率为1-p, 其中有m<=n次结果为1或0的概率. 

假设下面实例的概率分布服从二项分布, 则下面的情景可以用二项式分布来计算:

1. 有n个人服用了某特效药,  该特效药有效的概率为p, 则至少有m个人治愈的概率是多少?
2. 有一批产品不合格率为p, 检查n件产品,  其中有m件产品不合格的概率.
3. 有n部机器独立运转, 每台机器的故障率为p, 则至少有一台机器出故障的概率是多少.

 

连续型随机变量的分布律

 

图三 连续型随机变量分布的UML Class图

连续型随机变量的分布主要有均匀分布, 指数分布, 正态分布三种, 它们都有相应的概率密度和分布函数.  各种连续型随机变量通过概率密度和分布函数描述客观世界.

• 均匀分布

图四 均匀分布的定义及X~U(1,5)的图形

 

适用场景

某路公交车每n分钟到达车站, 乘客在n分钟内任一时刻到达车站, 求在指定时间间隔内等到某路公交车的概率.

买n张不同号码的**, 至少有一张中奖的概率.

• 指数分布

 

图五 指数分布的定义及图形

指数分布常被用作各种”寿命”的分布, 如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服务系统接受服务的时间.

• 正态分布和标准正态分布

 

图六 正态分布的定义及其图形

μ=0, σ=1的正态分布称为标准正态分布, 在考试的时候求正态分布可以先把正态分布转为标准正态分布, 通过查询标准正态分布表, 然后再计算, 然后得到正态分布.

标准正态分布记为Ф(x).

正态分布是最常见的一种分布, 在实际问题中, 许多随机变量服从或近似服从正态分布, 例如, 一个地区的男性成年人的身高和体重; 测量某个物理量所产生的随机误差;一批原棉纤维的长度;某地区的年降水量等, 它们都服从正态分布.

中心极限定理表明: 一个变量如果由大量独立、微小且均匀的随机因素的叠加生成,那么它就近似服从正态分布.

 

后言

数据是无限的, 用有限的数据推测无限的数据, 这就是分布函数(数学模型)存在的意义.

这里要注意的是对原始数据的采集要避免幸存者偏差, 观察者驳论等陷阱.

 

备注

一一对应

一一对应可以看成是”一对一函数”. 集合A(定义域)中的任意一个元素恰好对应B集合(值域)中的一个元素, 假设x, y属于集合A, 若f(x)不等于f(y), 必然有x不等于y.  所以相对于一对多, 多对一, 它是种约束条件较严格的映射关系.

 

附

中英文对照

随机变量  random variable (v. r.)

二项分布  binomial distribution

泊松分布  Poisson distribution

分布函数  cumulative distribution function (cdf)

概率密度  possibility density function (pdf)

正态分布  normal distribution

 

MATLAB相关

• 常用函数

组合             nchoosek

正态概率密度函数 normpdf  

正态分布函数     normcdf

可以使用 ”help 函数名” 命令, 在matlab中查看具体使用方式.

 

• 代码段

%二项式分布

N=100;

k=0:N;

pdf=binocdf(k,N,0.5);

pdf2=binocdf(k,N,0.6);

h=plotyy(k,pdf,k,pdf2);

set(h(1),'Ycolor',[0,0,1]);

set(get(h(1),'Ylabel'),'String','p=0.5');

set(h(2),'Ycolor',[1,0,0]);

set(get(h(2),'Ylabel'),'String','p=0.6');

xlabel('k');

grid off;

box off;

%1到5的均匀分布密度函数

ezplot(@(x)unifpdf(x,1,5),[0,6])

 

%1到5的均匀分布分布函数

a=1;

b=5;

x=0:1:6;



clear y

for i=1:length(x)

    y(i)=(x(i)-a)/(b-a);

    if y(i)>1

        y(i)=1;

    end

    if y(i)<0

        y(i)=0;

    end

end

plot(x,y)

axis([0 length(x)-1,0,1.2]) %分别设置X axis和Y axis的范围.

set(gca,'XTick',0:1:length(x)) %设置X axis的刻度为1.

 

%指数密度

x=0:0.2:10;

y1=exppdf(x);

y2=exppdf(x,2);

hold on;%hold on是当前轴及图像保持而不被刷新，准备接受此后将绘制的图形，多图共存

plot(x,y1,'b');

plot(x,y2,'g');

%title('指数分布密度函数图像');

%xlabel('x');

%ylabel('y');

% 画标准正态分布概率密度函数

x = -10:0.1:10;

y1 = normpdf(x, 0, 1);

y2 = normpdf(x, 0, 3);

%grid on;

%axis([-20 20,0,0.15]) %分别设置X axis和Y axis的范围.

plot(x,y1,'r');

hold on

plot(x,y2,'b');

box off

% 画标准正态分布函数

xbound = 10;

x = -xbound:0.1:xbound;

y1 = normcdf(x, 0, 1);

y2 = normcdf(x, 0, 3);

%grid on;

%axis([-20 20,0,0.15]) %分别设置X axis和Y axis的范围.

plot(x,y1,'r');

hold on

plot(x,y2,'b');

box off %去掉边界上顶部和右边的线

axis([-xbound xbound,0,1.1]) %分别设置X axis和Y axis的范围.

UML Class图

图七 UML类图 样例图

 

上面的UML class样例图转载自某个网站, 具体出自哪里忘记了.

参考资料

[1]<<Probability & Statistics>> 2009版 干晓蓉 武汉大学出版社

[2]<<概率论与数理统计(二)>> 2006版  孙洪祥 柳金甫 辽宁大学出版社