约瑟夫环/笔试题
约瑟夫问题
约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。
首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
C接着从1开始报数
接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
最终胜利者是C
普通解法
借助循环链表实现。
每个节点维护一个数字 和一个状态位
到时候直接循环走就行了， 没步计数，直剩下一个人时，继续循环，找到那个人的编号。
复杂度分析：
一直转圈圈走，类似于一个O(nn)的复杂度。实际上是O（nm）次
假如数据量很大的话，效率就非常差了。
看到大佬分析的公式法：
我们重新定义一下题目。
拉出来的人都是幸存者。
这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式： f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
f(N,M) 表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。
刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
……
第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
最后的胜利者是编号为7的人。
下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）
现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置
f(1,3)f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
……
f(11,3)=6
上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
**问题1：**假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。
**问题2：**假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
**问题3：**现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n
**注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。**每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。
因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1
下面给出代码实现：
//我们想法是：拿出来的人都是被杀者
//n是总人数， m是杀死编号m的人
int cir(int n,int m)
{
int p=0;//幸存者编号
for(int i=2;i<=n;i++)//只有1个人肯定是幸存者
{
p=(p+m)%i;//防止越界
}
return p+1;//最后一个被杀的人就是幸存者
}
2020年05-07趋势科技笔试题
变化
m是一个变的数。从1…直到最后剩下一个人
这个时候，我们可以让m每次自增即可。
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