DP学习之完全背包

完全背包常见题目一

有 $N$N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 $i$i 种物品的体积是$v_i$vi​，价值是 $w_i$wi​。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

数据范围
$0<N,V≤1000$0<N,V≤1000
$0<v_i,w_i≤1000$0<vi​,wi​≤1000

朴素版本

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,m,w,v;
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> v >> w;
        for(int j=0;j<=m;j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            for(int k = 0;k*v<=j;k++){
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v]+k*w);
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m];
    return 0;
}

时间复杂度： $O(nmk)$O(nmk)，空间复杂度：$O(n^2)$O(n2)
一般这个版本会超时

空间优化版本

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,m,w,v;
int dp[maxn];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> v >> w;
        for(int j=v;j<=m;j++){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-v]+w);  
            // 这里与0/1背包的不同地方就是这里是正序枚举j，要用到更新后的dp[j-v]
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

时间复杂度： $O(nm)$O(nm) ,空间复杂度：$O(n)$O(n)

完全背包常见题目二

如果把题目换成，体积刚好为V时的最大价值，如何求解？
这里跟DP学习之0/1背包再学习这篇文章一样，其实跟dp的初始化方式有关，上面用的是把dp全部初始化为0，如果求刚好为V，我们只需按照下面初始化

$dp[0]=0 \quad dp[i]=-INF \quad (i!=0)$dp[0]=0dp[i]=−INF(i!=0)