PCA与协方差矩阵
一、协方差矩阵
一个维度上方差的定义：
协方差的定义：
（a）
协方差就是计算了两个维度之间的相关性，即这个样本的这两个维度之间有没有关系。
协方差为0，证明这两个维度之间没有关系，协方差为正，两个正相关，为负则负相关。
协方差矩阵的定义：
对n个维度，任意两个维度都计算一个协方差，组成矩阵，定义如下
直观的对于一个含有x,y,z三个维度的样本，协方差矩阵如下
可以看出，对角线表示了样本在在各个维度上的方差。
其他元素表示了不同维度之间两两的关联关系。
二、协方差矩阵的计算
（1）先让样本矩阵中心化，即每一维度减去该维度的均值，使每一维度上的均值为0，
（2）然后直接用新的到的样本矩阵乘上它的转置
（3）然后除以(N-1)即可‘
数学推导相对容易，样本矩阵中心化以后，样本均值为0，因此式a中每个维度无需减去均值，只需要进行与其他维度的乘法，
这样就可以用转置相乘实现任意两两维度的相乘。
三、矩阵相乘的“变换的本质”理解
A*B两个矩阵相乘代表什么？
A的每一行所表示的向量，变到B的所有列向量为基底表示的空间中去，得到的每一行的新的表示。
B的每一列所表示的向量，变到A的所有行向量为基底表示的空间中去，得到的每一列的新的表示。
三、PCA深入
PCA的目的是降噪和去冗余，是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。
样本矩阵的格式：
样本1 [特征a1，特征a2，特征a3，…..，特征an]
样本2 [特征a1，特征a2，特征a3，…..，特征an]
样本3 [特征a1，特征a2，特征a3，…..，特征an]
样本4 [特征a1，特征a2，特征a3，…..，特征an]
PCA后：r<n
样本1 [特征b1，特征b2，特征b3，…..，特征br]
样本2 [特征b1，特征b2，特征b3，…..，特征br]
样本3 [特征b1，特征b2，特征b3，…..，特征br]
样本4 [特征b1，特征b2，特征b3，…..，特征br]
直白的来说，就是对一个样本矩阵，
（1）换特征，找一组新的特征来重新表示
（2）减少特征，新特征的数目要远小于原特征的数目
我们来看矩阵相乘的本质，用新的基底去表示老向量，这不就是重新找一组特征来表示老样本吗？？？
所以我们的目的是什么？就是找一个新的矩阵（也就是一组基底的合集），让样本矩阵乘以这个矩阵，实现换特征+减少特征的重新表示。
因此我们进行PCA的基本要求是：
（1）第一个要求：使得样本在选择的基底上尽可能的而分散。
为什么这样？
极限法，如果在这个基底上不分散，干脆就在这个基地上的投影(也就是特征)是一样的。那么会有什么情况？
想象一个二维例子：
以下这一组样本，有5个样本，有2个特征x和y，矩阵是
[-1,-2]
[-1, 0]
[ 0, 0]
[ 2, 1]
[ 0, 1]
画图如下：
我现在是二维特征表示，x一个特征，y一个特征。我现在降维。
降成一维，我要选一个新的基底（特征）。
如果我选(1,0)作为基底，就是x轴嘛，然后我把这些样本投影到x轴，或者乘以[1,0]列向量。
得，里面好几个数都一样，分不出来了。
所以这就是为样本在基底上要尽可能分散了，这个分散不就是样本在这个“基底上的坐标”（这个基底上的特征值）的方差要尽可能大么？
（2）第二个要求：使得各个选择的基底关联程度最小。
刚才是二维降一维，只选则一个一维基底就可以了，太拿衣服了。
考虑一个三维点投影到二维平面的例子。这样需要俩基底。
基底得一个一个找啊，先找第一个，要找一个方向，使得样本在这个方向上方差最大。
再找第二个基底，怎么找，方差最大？这不还是找的方向和第一个差不多么？那这两个方向表示的信息几乎是重复的。
所以从直观上说，让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个字段不是完全独立，必然存在重复表示的信息。所以最好就是选择和第一个基底正交的基底。
那怎么找呢？不能随便写一个矩阵吧？答案肯定是要基于原来的样本的表示。
我们求出了原来样本的协方差矩阵，协方差矩阵的对角线代表了原来样本在各个维度上的方差，其他元素代表了各个维度之间的相关关系。
也就是说我们希望优化后的样本矩阵，它的协方差矩阵，对角线上的值都很大，而对角线以外的元素都为0。
现在我们假设这个样本矩阵为X（每行对应一个样本），X对应的协方差矩阵为Cx，而P是我们找到的对样本进行PCA变换的矩阵，即一组基按列组成的矩阵，我们有Y=XP
Y即为我们变化后的新的样本表示矩阵，我们设Y的协方差矩阵维Cy，我们想让协方差矩阵Cy是一个对角阵，那么我们先来看看Cy的表示
注意：
推导规程为了把X凑一起，我们用了Y Yt=((Y Yt)t)t=(Yt Y)t
把样本组织成行向量和列向量是一样的原来，最后结果只需要一个转置就变成一个格式了。把样本X组织成列向量，就要把基底P组织成行向量，就要写PX了
好了，我们退出了Cy的表示，最后的结果很神奇的成了一个熟悉的形式：方阵可对角化的表达式
让我们来回忆一下可对角化矩阵的定义，顺便也回忆了矩阵相似的定义：
（1）什么是可对角化和相似：如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
（2）如何判断可对角化呢：我们再来回忆一下矩阵可对角化的条件：n × n 矩阵 A 只在域 F 上可对角化的，如果它在 F 中有 n 个不同的特征值，就是说，如果它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根，也就说他有n个线性无关的特征向量，这三条件是等价的，满足一个就可以对角化。
注意哦：有n个线性无关的特征向量并不一定代表有n个不同的特征值，因为可能多个特征向量的对于空间的权重相同嘛。。。但是n个不同的特征值一定有n个线性无关的特征向量啦。
C是啥呢，C是协方差矩阵，协方差矩阵是实对称矩阵，就是实数的意思，有很多很有用的性质
1）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量，不仅是线性无关的，还是正交的。
2）设特征向量重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于，因此可以将这r个特征向量单位正交化。
3） n阶实对称矩阵C，一定存在一个正交矩阵E，满足如下式子，即C既相似又合同于对角矩阵。（这里又温习了合同的概念哦）
由上面两条可知，一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量，设这n个特征向量为e1,e2,…,en
我们将其按列组成矩阵：
则对协方差矩阵C有如下结论：
PCA算法步骤总结：
设有m条n维数据，这里比较糊涂就是按行组织样本还是按列组织样本，下面是按行组织样本：
1）将原始数据按行组成n行m列矩阵X，代表有n个数据，每个数据m个特征
2）将X的每一列（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一列的均值
3）求出协方差矩阵C=1/n* XXT
4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按列排列成矩阵，取前k列组成矩阵P
6）Y=XP即为降维到k维后的数据
按列组织是这样的，理解一下：
1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X
2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值
3）求出协方差矩阵C=1/m*XXT
4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P
6）Y=PX即为降维到k维后的数据
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