C++的高精度减法

为什么需要高精度计算

对于 C++ 而言，最大的数据为 long long（64b，8位），对于超过 8B 的数据，C++ 没有对应的数据类型进行表示。所以我们需要知道高精度计算。更详细的解释，可以参考这个网页https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104414459。

高精度减法计算原理

在读小学时，我们做减法都采用竖式方法，如图 1 所示。 这样，我们可以写出两个整数相减的算法。

我们就可以用 C++ 语言来模拟这个竖式减法的过程。我们可以考虑利用 C++ 的数组来存储对应数据，假设用数组 A 存储被减数 856 的每一位，具体来说就是 A1 存储个位 6，A2 存储十位 5，A3存储百位 8；类似数组 A 的结构，使用数组 B 存储减数 257；类似数组 A 的结构，使用数组 C 来存储对应的差 599。两数相加的结果就如图 2 所示。这样理论上来说，我们就可以计算无限大的数据。如上图 2 所示，下表表示对应的存储方式。

	数组 A	数组 B	数组 C
[0]	6	7	9
[1]	5	5	9
[2]	8	2	5

总结：利用数组存储，突破存储的限制。每个位置存储 0 ~ 9 之间的数据。

高精度减法实现

思路

1、定义存储数组。

2、被减数和减数确认。由于减法可能出现负数。

3、读入数据到数组中。注意：保证被减数大于减数；倒序存放，也就是个位放在数组下标为 0 的地方。

4、从个位开始模拟竖式加法的过程，完成整个减法。

5、删除前导 0 。所谓前导零，就是出现类似这样数据 01234，这个 0 实际是不需要的。

6、输出减法的结果。倒序输出减法的结果数组 C，因为我们的个位是存储在下标为 0 的地方。

技术细节说明

定义存储数组

根据题目的要求定义数组。这个部分代码如下：

const int MAXN = 1e5+4; //根据题目的最大值。+4为了防止A+B出现进位
char s1[MAXN] = {};//存储字符串
char s2[MAXN] = {};//存储字符串
char tmp[MAXN] = {};//交换用字符串
int a[MAXN] = {};//存储加数A
int b[MAXN] = {};//存储加数B
int c[MAXN] = {};//存储和B

被减数和减数确认

由于减法可能出现负数，如 3-5=-2，我们在计算的时候，实际是使用 5-3=2，最后在结果前面添加负号。如果出现被减数小于减数的情况，要将两者颠倒。

    scanf("%s %s", s1, s2);//读入字符串
    int lena = strlen(s1);
    int lenb = strlen(s2);
    //判断最终的结果符号
    if ((lena<lenb) || (lena==lenb && strcmp(s1,s2)<0)) {
        //被减数小于减数，结果为负数
        printf("-");
        //交换数据
        strcpy(tmp, s1);
        strcpy(s1, s2);
        strcpy(s2, tmp);
        //更新长度数据
        lena = strlen(s1);
        lenb = strlen(s2);
    }

读入数据到数组

利用读入字符串的方法读入数据，再倒序写入到对应的数组中。这个部分代码如下：

    //将字符串写入到数组A中
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        //倒序写入
        a[i] = s1[lena-i-1] - '0';
    }

    //将字符串写入到数组B中
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        //倒序写入
        b[i] = s2[lenb-i-1] - '0';
    }

模拟竖式减法

有两个技术细节：如何判断发生借位。这个部分代码如下：

    //模拟竖式减法
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        if (a[i]<b[i]) {
            //有借位
            a[i+1]--;
            a[i] += 10;
        }
        c[i] = a[i] - b[i];
    }

删除前导零

因为减法运算可能会出现最高位为零，所以我们需要判断是否需要删除前导零。这个部分代码如下：

    //删除前导零
    for (int i=lena-1; i>=0; i--) {
        //因为我们是从索引 0 开始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lena>1) {
            //注意要有 lena>1 这个条件。考虑特殊情况，加法结果为 00，我们实际要输出 0。
            lena--;
        } else {
            //第一个不是零的最高位，结束删除
            break;
        }
    }

输出计算结果

采用倒序的方式输出，因为我们数据保存是倒序结构，也就是低位在前。

    //逆序打印输出
    for (int i=lena-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");    

例题和 AC 代码

题目

题目链接

一本通 OJ：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1169。

我自己 OJ：http://47.110.135.197/problem.php?id=1216。

题目描述

求两个大的正整数相减的差。

输入

共 2 行，第 1 行是被减数 a，第 2 行是减数 b，不保证 a > b。每个大整数不超过 10005 位。

输出

一行，即所求的差。

样例输入

9999999999999999999999999999999999999
9999999999999

样例输出

9999999999999999999999990000000000000

分析

题目告诉我们不超过 200 位，也就是 MAXN = 10005+4。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1e4+4; //根据题目的最大值。+4为了防止A+B出现进位
char s1[MAXN] = {};//存储字符串
char s2[MAXN] = {};//存储字符串
char tmp[MAXN] = {};//交换用字符串
int a[MAXN] = {};//存储加数A
int b[MAXN] = {};//存储加数B
int c[MAXN] = {};//存储和B

int main() {
    scanf("%s %s", s1, s2);//读入字符串
    
    int lena = strlen(s1);
    int lenb = strlen(s2);
    //判断最终的结果符号
    if ((lena<lenb) || (lena==lenb && strcmp(s1,s2)<0)) {
        //被减数小于减数，结果为负数
        printf("-");
        //交换数据
        strcpy(tmp, s1);
        strcpy(s1, s2);
        strcpy(s2, tmp);
        //更新长度数据
        lena = strlen(s1);
        lenb = strlen(s2);
    }
    
    //将字符串写入到数组A中
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        //倒序写入
        a[i] = s1[lena-i-1] - '0';
    }

    //将字符串写入到数组B中
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        //倒序写入
        b[i] = s2[lenb-i-1] - '0';
    }

    //模拟竖式减法
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        if (a[i]<b[i]) {
            //有借位
            a[i+1]--;
            a[i] += 10;
        }
        c[i] = a[i] - b[i];
    }

    //删除前导零
    for (int i=lena-1; i>=0; i--) {
        //因为我们是从索引 0 开始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lena>1) {
            //注意要有 lena>1 这个条件。考虑特殊情况，加法结果为 00，我们实际要输出 0。
            lena--;
        } else {
            //第一个不是零的最高位，结束删除
            break;
        }
    }

    //逆序打印输出
    for (int i=lena-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}