顽想学概率:概率一 week1

概率论week1

前言：
大学的时候概论论是我非常头痛的一门课，我总觉得这门课非常反直觉，考试成绩自然不太好，现在有了重新学习的想法，决定每天早上花1h到2h的时间去学习概率论。目前在看的课程是台大在coursera上的公开课，由叶丙成老师主讲的顽想学概率。
https://www.coursera.org/learn/prob1/home/welcome

只是我的笔记内容，不保证正确性

1 概率概论

概率的定义

概率与统计的差异：

• 概率：

  • 概率模型已知，要学会怎么算某些事件的概率

  • Ex：已知一骰子为公平骰（概率模型），看到偶数（事件）的概率为何？

    6个点中3个为偶数，每个点数出现的概率相同，所以为3/6=1/2

• 统计：

  • 概率模型未知，要学会怎么从大量的实验结果中去建立概率模型

  • Ex：不知骰子是否灌铅，欲知各点出现之概率模型？

2.a 集合论

假设【学生上课不规矩】的概率=0.1，那么我们记为

P(学生上课不规矩)=0.1

概率函数的自变量是：事件。而事件是一种集合。

自变量：因为某个变量的改变会导致结果的改变，我们把这个变量称为自变量，而因此而改变的结果我们称为因变量。

集合论名词复习

• 元素 Element

  • Ex 小a，小b，小c，小d，小e

• 集合 Set

  • Ex 咸豆腐脑党 A= {小a，小b}
  • Ex 甜豆腐脑党 B={小c，小d}

• 子集合 Subset

  • Ex 嫌弃咸党 C={小c，小d，小e}

    集合B是集合C的子集，表示为$B \subset C$B⊂C

• 宇集 Universal Set （我们习惯称为全集）

  • Ex: S={小a，小b，小c，小d，小e}

• 空集合 Empty Set

  • Ex $ \empty = {}$

• 交集 Intersection

  • Ex：喜欢甜豆腐脑并且喜欢咸豆腐脑者 $A\cap B=\{\}=\empty$A∩B={}=∅

• 并集 Union

  • Ex：喜欢甜豆腐脑或喜欢咸豆腐脑者 $A\cup B = \{小a，小b，小c，小d\}$A∪B={小a，小b，小c，小d}

• 补集 Complement

  • Ex：嫌弃咸党C就是咸党A的补集 $C=A^C$C=AC

    A的补集实际上也是S-A，S和A做差

• 差集 Difference：X-Y={有在X但不在Y的东西}

  • Ex: 嫌弃咸党-甜党={小e}
  • 又如咸党的补集是S-A={小c，小d，小e}

2.b 集合论

• 不相交 Disjoint：如果$X \cap Y=\empty \rightarrow X,Y不相交$X∩Y=∅→X,Y不相交
  • Ex: 甜党和咸党不相交 ，甜$\cap$∩咸={}
• 互斥 Mutually Exclusive：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8KMl50TY-1583641005229)(G:\MD笔记\概率论学习\概率论week1.assets\image-20200308103509067.png)]

De Morgan’s Law 定理：

$(A\cup B)^C=A^C \cap B^C$(A∪B)C=AC∩BC

Ex:

$A \cap B$A∩B 就是下面白色的区域

A的补集

B的补集

最后的结果

证明：

“你中有我，我中有你”，如果两个集合互相包含，则这两个集合实际上是一个集合

证明过程，第二部分用了反证法

不用反证法也可以证明，当我们得出结论，x不属于A且x不属于B的时候，我们可以得出 $x \notin (A\cup B)$x∈/​(A∪B)，这个情况等同于 $x \in (A \cup B)^c$x∈(A∪B)c，可以得到一样的结论

3.a 概率名词

实验 Experiment

• 一个概率【实验】包括了：

  步骤（Procedures）：操作实验的步骤

  模型（model）：概率模型，如刚开始讲的【已知骰子没有灌铅】，这就是一个概率模型

  观察（observations）：观察实验结果

结果 Outcome

【结果】 是实验中可能的结果

• Ex：约心仪店员 ——》成功，失败
• Ex：看到华南虎 ——》 立体的，平面的
• Ex：转幸运之轮 ——》 X=0.4099…,X=0.2153…，X= …，…

样本空间 Sample Space

【样本空间】是概率实验所有可能的结果的集合，通常用S来表示

为什么1取不到呢？如果你注意观察那个圆盘，把它展开后实际上就是在坐标轴上占[0,1)的刻度。更通俗的解释后，0刻度代表了刚开始的位置，按照我们平时的想法，1就是转一圈，但是就算转一圈回到原点还是0，也就是0把1的‘位置’给占了，永远不可能转到1，所以1是取不到的

3.b 概率名词

事件 Event

【事件】指的是对于实验结果的某种论述

• 概率就是在讲实验结果符合某事件叙述的概率多大

• 在数学上，【事件】可以看成是【结果】的结合，亦是【样本空间】的子集
  

我們在機率通常用这种方式來表示一個機率事件：

找出符合該事件敘述的所有結果；以這些結果所形成的集合來代表該事件。

事件空间 Event Space

其实是集合组成的集合

【事件空间】是包含所有事件的集合

本周主题回顾

1 概率概论

• 如何理解概率=0.6的意义

2 集合论

• 集合基本概念，不相交，互斥，De Morgan’s Law

3 概率名词介绍

• 实验，结果，样本空间，事件，事件空间
• 概率函数的本质：它是【事件】的函数（你给一个实验，它吐回一个数字给你）

Week1的作业

第一题应该是3，4，5，6。AD的话，x取值就不是离散的了

答案是8个，样本空间是所有可能结果的集合，硬币的结果只有0和1两种可能,丢一次的话是2个 也就是$2^1$21，丢两次的话是4个 也就是$2^2$22，丢三次的话应该是$2^3$23

3个，分别是0,1,64

   	L1={x**2 for x in range(0,11)}
    L2={x**3 for x in range(0,11)}
    print(L1)
    print(L2)
    print(L1 & L2)
    
{0, 1, 64, 4, 36, 100, 9, 16, 49, 81, 25}
{0, 1, 64, 512, 8, 1000, 343, 216, 729, 27, 125}
{0, 1, 64}

20个，这个事件里面包含的结果中，羊肉是固定的，炒菜4选1，汤5选1，一共1*4*5=20个

17个女生戴眼镜，其中有3个女生还带了牙套，那么得出14个女生没带牙套

2个，画图容易得出

思维导图