【POI 2009】岛屿

传送门

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Problem

Byteotia 岛屿是一个凸多边形，它的城市按顺时针编号 $1$1 到 $n$n，第 $i$i 个城市坐标为 $(x_i,y_i)$(xi​,yi​)，任意两个城市之间都有一条笔直的道路相连，道路相交处可以*穿行。

有 $m$m 条道路被游击队控制了，不能走，但是可以经过这条道路与未被控制的道路的交点。

请求出从城市 $1$1 到 $n$n 的最短距离。

数据范围：$3≤n≤10^5$3≤n≤105，$1≤m≤10^6$1≤m≤106。

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Solution

注意若两条道路相交，可以从一条道路出发，走到交点直接转弯走。

由于点是顺时针编号的，那对于一个点，最优情况肯定是走到编号最大的能走到的点。（可以用三角形中 $c>a+b$c>a+b 来解释。）

那现在我们就把 $O(n^2)$O(n2) 的边的规模减小到了 $O(n)$O(n)。

然后现在可以画一下图，发现最短路就是这些边半平面交的周长，记录下交点算距离即可。

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Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000005
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n,m,num;
vector<int>e[N];
double D;
int Sign(double x)  {return (x>eps)?1:((x<-eps)?-1:0);}
struct point{
	double x,y;
	point(){}
	point(double x,double y):x(x),y(y){}
	friend point operator+(const point &a,const point &b)  {return point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend point operator-(const point &a,const point &b)  {return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend point operator*(const point &a,double b)  {return point(a.x*b,a.y*b);}
	friend double dot(const point &a,const point &b)  {return a.x*b.x+a.y*b.y;}
	friend double cross(const point &a,const point &b)  {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
	friend double dis(const point &a)  {return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}
}p[N],inter[N];
struct line{
	point S,T;
	double angle;
	line(){}
	line(point S,point T):S(S),T(T){}
}a[N],l[N],Q[N];
bool operator<(const line &p,const line &q){
	return Sign(p.angle-q.angle)==0?Sign(cross(q.T-p.S,q.S-p.S))>0:Sign(p.angle-q.angle)<0;
}
point Intersection(line a,line b){
	double S1=cross(b.S-a.S,b.T-a.S);
	double S2=cross(b.S-a.T,b.T-a.T);
	double k=S1/(S1-S2);
	return a.S+(a.T-a.S)*k;
}
bool Judge(line a,line b,line c){
	point p=Intersection(a,b);
	return Sign(cross(p-c.S,c.T-c.S))>0;
}
double Solve(){
	int tot=0,sum=0;
	for(int i=1;i<=num;++i)
		if(l[i].angle!=a[tot].angle)
			a[++tot]=l[i];
	int L=1,R=0;
	Q[++R]=a[1],Q[++R]=a[2];
	for(int i=3;i<=tot;++i){
		while(L<R&&Judge(Q[R-1],Q[R],a[i]))  --R;
		while(L<R&&Judge(Q[L+1],Q[L],a[i]))  ++L;
		Q[++R]=a[i];
	}
	while(L<R&&Judge(Q[R-1],Q[R],Q[L]))  --R;
	while(L<R&&Judge(Q[L+1],Q[L],Q[R]))  ++L;
	for(int i=L;i<R;++i)  inter[++sum]=Intersection(Q[i],Q[i+1]);
	inter[0]=inter[++sum]=Intersection(Q[L],Q[R]);
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=sum;++i)
		ans+=dis(inter[i]-inter[i-1]);
	return ans-D;
}
int main(){
	int x,y,i,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
	D=dis(p[1]-p[n]);
	for(i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x>y) swap(x,y);
		e[x].push_back(y);
	}
	for(i=1;i<n;++i){
		sort(e[i].begin(),e[i].end()),j=n;
		while(!e[i].empty()&&e[i].back()==j)  j--,e[i].pop_back();
		if(i==1&&j==n)  return printf("%.9lf",D),0;
		if(j>i)  l[++num]=line(p[j],p[i]);
	}
	l[++num]=line(p[1],p[n]);
	for(i=1;i<=num;++i)  l[i].angle=atan2(l[i].T.y-l[i].S.y,l[i].T.x-l[i].S.x);
	sort(l+1,l+num+1);
	printf("%.9lf",Solve());
	return 0;
}