计算几何学 | 逆时针方向 | Counter-Clockwise | C/C++实现

问题描述

对于三个点p0、p1、p2，请按照下列情况进行输出：
p0、p1、p2成逆时针方向 COUNTER_CLOCKWISE
p0、p1、p2成顺时针方向 CLOCKWISE
p2、p0、p1依次排列在同一直线上 ONLINE_BACK
p0、p1、p2依次排列在同一直线上 ONLINE_FRONT
p2在线段p0p1上 ON_SEGMENT

输入：
$x_{p0}$xp0​ $y_{p0}$yp0​ $x_{p1}$xp1​ $y_{p1}$yp1​
$q$q
$x_{p2_0}$xp20​​ $y_{p2_0}$yp20​​
$x_{p2_1}$xp21​​ $y_{p2_1}$yp21​​
…
$x_{p2_{q-1}}$xp2q−1​​ $y_{p2_{q-1}}$yp2q−1​​
第1行输入p0、p1的坐标。接下来给出q个p2的坐标用作问题。
输出：
根据各问题输出上述状态之一，每个问题占1行。
限制：
1 ≤ q ≤ 1000
-10000 ≤ $x_i,y_i$xi​,yi​ ≤ 10000
p0、p1不是同一个点。

输入示例

0 0 2 0
5
-1 1
-1 -1
-1 0
0 0
3 0

输出示例

COUNTER_CLOCKWISE
CLOCKWISE
ONLINE_BACK
ON_SEGMENT
ONLINE_FRONT

讲解

向量a、b外积的方向与a、b所在平面垂直且满足右手螺旋定则，因此我们可以根据外积的方向判断向量a、b的位置关系。

(1)p2位于p0→p1的逆时针方向
(2)p2位于p0→p1的顺时针方向
(3)p2位于直线p0p1上，且顺序为p2→p0→p1
(4)p2位于直线p0p1上，且顺序为p0→p1→p2
(5)p2位于线段p0p1上，顺序为p0→p2→p1

设p0到p1的向量为a，p0到p2的向量为b，则各种情况的判断方法如下：

(1)外积的大小cross(a, b)为正时，可确定b在a的逆时针位置
(2)外积的大小cross(a, b)为负时，可确定b在a的顺时针位置
(3)(1)(2)都不符合时，表示p2位于直线p0p1上（不一定在线段p0p1上）。cosθ在θ大于90度或小于-90度时为负，因此a与b的内积dot(a, b)为负时，可确定p2位于线段p0p1后方，即顺序为p2→p0→p1。
(4)不符合(3)时，p2的位置为p0→p1→p2或p0→p2→p1。因此。如果b的大小大于a的，则可确定p2位于线段p0p1上。
(5)不符合(4)时，可确定p2位于线段p0p1上

下面的程序将三个点p0、p1、p2作为参数，返回点p2与向量p0→p1的位置关系。

逆时针方向CCW：

static const int COUNTER_CLOCKWISE = 1;
static const int CLOCKWISE = -1;
static const int ONLINE_BACK = 2;
static const int ONLINE_FRONT = -2;
static const int ON_SEGMENT = 0;

int ccw(Point p0, Point p1, Point p2) {
	Vector a = p1 - p0;
	Vector b = p2 - p0;
	if( cross(a, b) > EPS ) return COUNTER_CLOCKWISE;
	if( cross(a, b) < -EPS ) return CLOCKWISE;
	if( dot(a, b) < -EPS ) return ONLINE_BACK;
	if( a.norm() < b.norm() ) return ONLINE_FRONT;

	return ON_SEGMENT;
}

AC代码如下

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

#define EPS (1e-10)
#define equals(a, b) (fabs((a) - (b)) < EPS)

class Point {//Point类，点 
	public:
		double x, y;
		
		Point(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}

		Point operator + (Point p) { return Point(x + p.x, y + p.y); }
		Point operator - (Point p) { return Point(x - p.x, y - p.y); }
		Point operator * (double a) { return Point(a * x, a * y); }
		Point operator / (double a) { return Point(x / a, y / a); }

		double abs() { return sqrt(norm()); }
		double norm() { return x * x + y * y; }
		
		bool operator < (const Point &p) const {
			return x != p.x ? x < p.x : y < p.y;
		}

		bool operator == (const Point &p) const {
			return fabs(x - p.x) < EPS && fabs(y - p.y) < EPS;
		}
};

typedef Point Vector;//Vector类，向量 

struct Segment{//Segment 线段 
	Point p1, p2;
};
double dot(Vector a, Vector b) {//内积 
	return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

double cross(Vector a, Vector b) {//外积 
	return a.x*b.y - a.y*b.x;
}

static const int COUNTER_CLOCKWISE = 1;
static const int CLOCKWISE = -1;
static const int ONLINE_BACK = 2;
static const int ONLINE_FRONT = -2;
static const int ON_SEGMENT = 0;

int ccw(Point p0, Point p1, Point p2) {
	Vector a = p1 - p0;
	Vector b = p2 - p0;
	if( cross(a, b) > EPS ) return COUNTER_CLOCKWISE;
	if( cross(a, b) < -EPS ) return CLOCKWISE;
	if( dot(a, b) < -EPS ) return ONLINE_BACK;
	if( a.norm() < b.norm() ) return ONLINE_FRONT;

	return ON_SEGMENT;
}

int main(){
	Point p0, p1, p2;
	cin>>p0.x>>p0.y>>p1.x>>p1.y;
	
	int q;
	cin>>q;
	
	while(q--){
		cin>>p2.x>>p2.y;
		switch(ccw(p0, p1, p2)){
			case 1: cout<<"COUNTER_CLOCKWISE"<<endl; break;
			case -1: cout<<"CLOCKWISE"<<endl; break;
			case 2: cout<<"ONLINE_BACK"<<endl; break;
			case -2: cout<<"ONLINE_FRONT"<<endl; break;
			case 0: cout<<"SEGMENT"<<endl; break;
		}
		
	}
} 

注：以上本文未涉及代码的详细解释参见：计算几何学