多项式MATLAB命令

一个多项式的幂级数形式可表示为：

y=c1xn+c2xn−1+⋯+cnx+cn+1$$y=c_1{x}^n+c_2{x}^{n-1}+\cdots +c_{n}x+c_{n+1}$$

也可表为嵌套形式:

y=(⋯((c1x+c2)x+c3)x⋯+cn)x+cn+1$$y=(\cdots ((c_{1}x+c_2)x+c_3)x\cdots +c_n)x+c_{n+1}$$

或因子形式:

y=c1(x−r1)(x−r2)⋯(x−rn)$$y=c_1(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)$$

N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多项式所有系数均为实数，则全部复根都将以共轭对的形式出现 。

幂系数：

在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。

例1：

y=2x3+x2+4x+5$$y=2x^3+x^2+4x+5$$

在matlab中被表示为 ：

p=[2 1 4 5]
poly2sym(p)
ans =
2*x^3+x^2+4*x+5

多项式函数调用：

Roots:多项式的零点可用命令roots求的。
如例1：

 >> r=roots(p)   
   r =
       0.2500 + 1.5612i
       0.2500 - 1.5612i
       -1.0000 

所有零点由一个列向量给出。

Poly:由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一个常数倍。
如例1：

 >> poly(r)
     ans =
    1.0000    0.5000    2.0000    2.5000

注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。

如例2：

y=(x−1)6=x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1$$y=(x-1{)}^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1$$

 >> r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) 
              r =
                  1.0042 + 0.0025i
                  1.0042 - 0.0025i
                  1.0000 + 0.0049i
                  1.0000 - 0.0049i
                  0.9958 + 0.0024i
                  0.9958 - 0.0024i

舍入误差的影响，与计算精度有关。

polyval:计算多项式的值。
如例3：

y=3x4−7x3+2x2+x+1$$y=3x^4-7x^3+2x^2+x+1$$

计算y(2.5)的值

>> c=[3,-7,2,1,1]； 
>>xi=2.5; 
>>yi=polyval(c,xi)
 yi =
        23.8125

如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同的向量。

>>c=[3,-7,2,1,1];  
>>xi=[2.5,3];
>>yi=polyval(c,xi)
yi =
   23.8125   76.0000

polyfit:给定n+1个点将可以唯一确定一个n阶多项式。利用命令polyfit可容易确定多项式的系数。
（曲线拟合：已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值）

如例4：

>> x=[1.1,2.3,3.9,9.1];
>> y=[3.887,4.276,4.651,2.117];
>> a=polyfit(x,y,length(x)-1)  %Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。
a =
  1 至 3 列
   -0.0093    0.0355    0.2870
  4 列
    3.5406
>>  poly2sym(a)  %求出多项式
 ans =

- (647*x^3)/69888 + (5117895565554271*x^2)/144115188075855872 + (2585253578334195*x)/9007199254740992 + 7972787511422351/2251799813685248

多项式积分：

y=c1xn+c2xn−1+⋯+cnx+cn+1$$y=c_1{x}^n+c_2{x}^{n-1}+\cdots +c_{n}x+c_{n+1}$$

Y=∫ydx=c1n+1xn+1+c2nxn+⋯+cn2x2+cn+1x+cn+2$$Y=\int ydx=\frac{c_1}{n+1}{x}^{n+1}+\frac{c_2}{n}{x}^n+\cdots +\frac{c_n}{2}{x}^2+c_{n+1}x+c_{n+2}$$

poly_itg(p)求多项式积分。
调用格式：py=poly_itg(p)
p:被积多项式的系数
py：求积后多项式的系数

poly_itg.m
          function py=poly_itg(p)
          n=length(p);
          py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0]

不包括最后一项积分常数
多项式微分：

y=c1xn+c2xn−1+⋯+cnx+cn+1$$y=c_1{x}^n+c_2{x}^{n-1}+\cdots +c_{n}x+c_{n+1}$$

y′=nc1xn−1+(n−1)c2xn−2+⋯+cn$$y^{\prime }=n{c}_1{x}^{n-1}+(n-1)c_2{x}^{n-2}+\cdots +c_n$$

Polyder:求多项式一阶导数的系数。
调用格式为: b=polyder(c )

c为多项式y的系数，b是微分后的系数，其值为：

[nc1,(n−1)c2,⋯,cn]$$[n{c}_1,(n-1)c_2,\cdots ,c_n]$$

两个多项式的和与差：

ya=a1xm+a2xm−1+⋯+amx+am+1$$y_a=a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+\cdots +a_{m}x+a_{m+1}$$

yb=b1xn+b2xn−1+⋯+bnx+bn+1$$y_b=b_1{x}^n+b_2{x}^{n-1}+\cdots +b_{n}x+b_{n+1}$$

poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为:
c= poly_add(a,b)
多项式a减去b，可表示为:
c= poly_add(a,-b)

功能：两个多项式相加
调用格式：b=poly_add(p1,p2)
b:求和后的系数数组

main.m
p1=[1,3,4];
p2=[2,1,3];
b=poly_add(p1,p2)
##########################
poly_add.m
function p3=poly_add(p1,p2)
n1=length(p1);
n2=length(p2);
if n1==n2  p3=p1+p2;end
if n1>n2   p3=p1+[zeros(1,n1-n2),p2];end
if n1<n2   p3=[zeros(1,n2-n1),p1]+p2;end

b =

     3     4     7

m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式

ya=a1xm+a2xm−1+⋯+amx+am+1$$y_a=a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+\cdots +a_{m}x+a_{m+1}$$

yb=b1xn+b2xn−1+⋯+bnx+bn+1$$y_b=b_1{x}^n+b_2{x}^{n-1}+\cdots +b_{n}x+b_{n+1}$$

yc=yayb=c1xd+c2xd−1+⋯+cdx+cd+1$$y_c=y_a{y}_b=c_1{x}^d+c_2{x}^{d-1}+\cdots +c_{d}x+c_{d+1}$$

计算yc系数的MATLAB命令是:

c=conv(a,b)

多项式yb除多项式ya的除法满足:

ya=yqyb+yr$$y_a=y_q{y}_b+y_r$$

其中yq是商,yr是除法的余数。多项式yq和yr可由命令

deconv 算出。

例：

[q, r]=deconv(a,b)

例5

例
>> a=[2,-5,6,-1,9]; 
>> b=[3,-90,-18];
>> c=conv(a,b)
c =
     6  -195   432  -453     9  -792  -162
>> [q,r]=deconv(c,b)
q =
     2    -5     6    -1     9
r =
     0     0     0     0     0     0     0
>> poly2sym(c)
 ans =
 6*x^6-195*x^5+432*x^4-453*x^3+9*x^2-792*x-162