排列组合算法总结(基于C++实现)

1.排列

全排列n!

1.1 递归法

设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p – {rn}。则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列

1、首先看最后两个数4, 5。 它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。

由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。

即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.

#include <iostream>
using namespace std;

void Perm(int start, int end, int a[]) {
    //得到全排列的一种情况，输出结果
    if (start == end) {
        for (int i = 0; i < end; i++)
            cout << a[i] << ' ';
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = start; i < end; i++) {
        swap(a[start], a[i]);      //交换
        Perm(start + 1, end, a);   //分解为子问题a[start+1,...,end-1]的全排列
        swap(a[i], a[start]);      //回溯
    }
}
int main() {
    int i, n, a[10];
    while (cin >> n, n) {
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i + 1;
        }
        Perm(0, n, a);
    }
    return 0;
}

2.组合

C(n,k)，n个数中任取k个数

2.1 递归法

实际上就是在n个数中，标记k个数，然后输出这k个数的过程。使用一个visited数组来记录相应下标的数是否被选中。

#include <iostream>
using namespace std;

void dfs(int pos, int cnt, int n, int k, int a[],bool visited[]) {
    //已标记了k个数，输出结果
    if (cnt == k) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (visited[i]) cout << a[i] << ' ';
        cout << endl;
        return;
    }

    //处理到最后一个数，直接返回
    if (pos == n) return;

    //如果a[pos]没有被选中
    if (!visited[pos]) {
        //选中a[pos]
        visited[pos] = true;
        //处理在子串a[pos+1, n-1]中取出k-1个数的子问题
        dfs(pos + 1, cnt + 1, n, k, a,visited);
        //回溯
        visited[pos] = false;   
    }
    //处理在子串a[pos+1, n-1]中取出k个数的问题
    dfs(pos + 1, cnt, n, k, a, visited);
}
int main() {
    int i, n, k;
    while (cin >> n >> k, n || k) 
    {
        int *a = new int[n];
        bool *visited = new bool[n];
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i + 1;
            visited[i] = false;
        }
        dfs(0, 0, n, k, a, visited);
        delete[] a;
        delete[] visited;
    }
    getchar();
    return 0;
}

2.2 ‘01’转换法

本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到n个数，数组元素的值为1表示其代表的数被选中，为0则没选中。

首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。

然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。

当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得到了最后一个组合。

例如求5中选3的组合：

1 1 1 0 0 //1,2,3

1 1 0 1 0 //1,2,4

1 0 1 1 0 //1,3,4

0 1 1 1 0 //2,3,4

1 1 0 0 1 //1,2,5

1 0 1 0 1 //1,3,5

0 1 1 0 1 //2,3,5

1 0 0 1 1 //1,4,5

0 1 0 1 1 //2,4,5

0 0 1 1 1 //3,4,5

#include <iostream>

using namespace std;

//输出结果
void printRes(int* a, bool* index, int n)
{
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        if (index[i])
        {
            cout << a[i] << " ";
        }
    }
    cout << endl;
}

//检查最后k个位置是否已全变成0
bool hasDone(bool* index, int n, int k)
{
    for (int i=n-1;i>=n-k;i--)
    {
        if (!index[i])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void Comb(int* a, int n, int k)
{
    bool *index = new bool[n]();
    //选中前k个位置
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        index[i] = true;
    }
    printRes(a, index, n);

    while (!hasDone(index, n, k))
    {
        //从左到右扫描数组
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
        {
            //找到第一个“10”组合将其变成"01"组合
            if (index[i] && !index[i + 1])
            {
                index[i] = false;
                index[i + 1] = true;

                //将"01"组合左边的1移到最左边
                int count = 0;
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    if (index[j])
                    {
                        index[j] = false;
                        index[count++] = true;
                    }
                }
                printRes(a, index, n);
                break;
            }
        }
    }
    delete[] index;
}
int main()
{
    int n,k;
    while (cin>>n>>k)
    {
        int *a = new int[n]();
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = i+1;
        }
        Comb(a, n, k);
        delete[] a;
    }

    return 0;
}