背包问题（待补充）

01背包问题

01背包问题

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

二维dp，dp[i][j]表示从前i个物品中挑选总体积小于j的物品的最大价值
递推公式：分两种情况讨论
第一种：不选择第i种物品 此时dp[i][j] = dp[i - 1][j]
第二种：如果加上第i种物品总体积小于j的话 dp[i][j] = max(dp[i -1][j],dp[i - 1][j - v[i] + w[i])

二维模板代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1010][1010];
int n,V;
int v[1010],w[1010];

int main()
{
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= V; j ++ )
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n][V];
    return 0;
}

01背包滚动数组空间优化

先看关键代码对比（下面是原二维代码）

for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= V; j ++ )
        {
            dp[j] = dp[j];
            /*dp[i][j]= dp[i - 1][j];*/
            if(j >= v[i])
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
                /*dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);*/
        }
    }

第一句 dp[j] = dp[j] 由于会先算右边的dp[j],即右边的dp[j]是已存在的，所以应该等于第 i - 1 层的 dp[j] ,改为一维后不影响。
第二句 dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i])，由于j是从小到大遍历，而 j - v[i] 小于 j ,所以 dp[j - v[i]]是已被更新过的，即等于第 i 层的dp[ j - v[i]]，与二维的不相等。
修改：想要是没被更新的上一层dp，只需将j的遍历顺序反过来即可。

修改后的一维代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1010];
int n,V;
int v[1010],w[1010];

int main()
{
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = V; j >= v[i]; j -- )
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
    cout<<dp[V];
}

为什么可以直接将dp[j] = dp[j]删去，因为改为了一维数组，在二维数组中不选择第i个物品时第i行的元素需要等于i-1行，而一维数组是滚动的，不选择时第i-1行的元素直接在第i行使用。

完全背包问题

完全背包问题

题目链接

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

模板代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1010][1010];
int n,V;
int v[1010],w[1010];

int main()
{
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= V; j ++ )
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n][V];
    return 0;
}

与01背包问题唯一的差别就是第二句dp里的 i - 1 改为了 i 。
原因：
递推式：dp[i][j] =max(dp[ i - 1][j],dp[ i - 1 ][ j - v ] + w , dp[ i - 1 ][ j - 2 * v ] + 2 * w …)
同理，dp[ i ][ j - v ] = max(dp[ i - 1 ][ j - v ] , dp[ i - 1 ][ j - 2 * v ] + w …)
第一个式子的后半部分可以总结为 dp[ i ][ j - v ] + w，即得到完全背包的递推关系式。

完全背包的一维数组优化

同上关键代码对比

for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= V; j ++ )
        {
            //dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            dp[j] = dp[j];
            if(j >= v[i])
                //dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - v[i]] + w[i]);
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

由于只改变了 i 一处地方，只需看 dp[j - v[i]] + w[i])是否与dp[i][j - v[i]] + w[i])相同，通过01背包一维数组的分析可得，当j从0到V顺序遍历时，更新的值是最新的第i层的值，所以两式相等。

修改后的一维代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1010];
int n,V;
int v[1010],w[1010];

int main()
{
    cin>>n>>V;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = v[i]; j <= V; j ++ )
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
    cout<<dp[V];
    return 0;
}