洗衣服wash 题解

洗衣服

【题目描述】

有 $n$n 个人来到$BB$BB家里洗衣服，第$i$i个人的到达时间是 $t_i$ti​。

不幸的是，$BB$BB 家里只有一个洗衣机。

因此，同一时刻如果有多个人一起洗衣服的话，只能有一个人使用洗衣机，其他人只能手洗。

洗衣机洗一个人的衣服需要 $x$x 的时间。

所有人手洗的速度是一样的，洗自己的衣服需要 $y$y 的时间。

一个人的衣服不能在洗到一半的时候更换洗的方式。

给定 $x$x 和 $m$m，对于 $y=1,2\cdots,m$y=1,2⋯,m，分别求出所有人都洗完衣服的最早时刻。

【输入数据】

第一行三个整数 $n$n,$x$x,$m$m。

第二行 $n$n 个整数 $t_1 {-} t_n$t1​−tn​。

【输出数据】

记 $y=i$y=i 时答案为 $ans_i$ansi​，输出一行一个整数$(ans_1)\oplus(2\times ans_2)\oplus(3\times ans_3)\oplus\cdots\oplus(m\times ans_m)$(ans1​)⊕(2×ans2​)⊕(3×ans3​)⊕⋯⊕(m×ansm​)

其中$\oplus$⊕为计算机中的异或操作

【样例输入】

4 2 10
1 2 2 3

【样例输出】

113

【样例解释】

压缩前的答案为

4 5 5 6 7 8 8 9 9 9

【数据范围】

对于 $5\%$5%的数据，$n,m\leq 10$n,m≤10。

对于 $25\%$25%的数据，$n,m\leq 1000$n,m≤1000。

对于 $50\%$50%的数据，$n\leq 10^5$n≤105。

对于另外 $20\%$20% 的数据，$n\leq 10^6$n≤106，$m-x\leq 20$m−x≤20。

对于 $100\%$100%的数据，$1\leq n,x,m\leq 10^7$1≤n,x,m≤107，$1\leq t_i\leq 10^9$1≤ti​≤109，$t_i\leq t_{i+1}$ti​≤ti+1​

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对于此题，首先可以考虑一个人使用了洗衣机之后对后面的人造成的影响，但是会发现这样不太好维护，因为存在第$i-1$i−1个人使用手洗时间比第$i$i个人机洗要慢的情况。

但是，如果知道了之后有多少个人会使用洗衣机，这样的话就能倒序计算出答案了。

第$n$n个人使用了洗衣机会让答案至少为$t_n+x$tn​+x，第$n-1$n−1个人使用洗衣机会让答案至少为$t_{n-1}+2x$tn−1​+2x，$\cdots$⋯，第$i$i个人使用了洗衣机会使答案至少为$t_i+(n-i+1)x$ti​+(n−i+1)x。那么最终的答案就是$max(t[i]+min(y,(n-i+1)x))$max(t[i]+min(y,(n−i+1)x))

但是直接枚举会使得复杂度为$O(nm)$O(nm)

考虑如何优化:

利用数学知识：

先将答案用分段函数的形式表达出来：

$ans[i]=min \left\{\begin{aligned} t[i]+(n-i+1)x \\t[i]+y \end{aligned}\right.$ans[i]=min{t[i]+(n−i+1)xt[i]+y​
将函数绘出可以得到此图：

将每一个不同的有关 $y$y的分段函数绘出然后综合，对于每一个$y$y，最终函数图像上的最高点即为对应$y$y的答案。

对应的代码为：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    t=read<int>();
    ll tmp=1LL*(n-i+1)*x;
    if(tmp>m) 
    {
        ans[m]=max(ans[m],t+m);
    }
    else
    {
        ans[tmp]=max(1LL*ans[tmp],t+tmp);
    }
}

求出最高点之后再想办法求出函数，可以采用标记左下方的点的方法

先倒序枚举：

for(int i=m;i>=1;i--)
{
    ans[i]=max(ans[i+1]-1,ans[i]);
}

但是存在一种两个点在同一条斜率为零的线的情况：

画个图解释就是：

所以需要在再在最后统计答案的时候进行修正：

int k=ans[1];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
    k=max(k,ans[i]);
    ans^=1LL*k*i;
}

然后就成功将$O(nm)$O(nm)的算法优化成了$O(n+2m)$O(n+2m)的

完整code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int twx=1e7+100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,x,m;
int t;
int ans[twx];
ll ANS;
char buf[1<<20],*p1,*p2;
#define getchar() ((p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
template<class T>
T read()
{
	T r=0;
	int w=0,c;
	for(;!isdigit(c=getchar());r=c);
	for(w=(c^48);isdigit(c=getchar());w=w*10+(c^48));
	return r^45?w:-w;
}
void init()
{
	n=read<int>();
    x=read<int>();
    m=read<int>();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t=read<int>();
        ll tmp=1LL*(n-i+1)*x;
        if(tmp>m) 
        {
            ans[m]=max(ans[m],t+m);
        }
        else
        {
            ans[tmp]=max(1LL*ans[tmp],t+tmp);
        }
    }
    for(int i=m;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=max(ans[i+1]-1,ans[i]);
    }
    int k=ans[1];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        k=max(k,ans[i]);
        ANS^=1LL*k*i;
    }
    printf("%lld\n",ANS);
}
int main()
{
	//freopen("wash.in","r",stdin);
	//freopen("wash.out","w",stdout);
    init();
	return 0;
}