洛谷 P3382

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题意：如题，给出一个N次函数，保证在范围[l,r]内存在一点x，使得[l,x]上单调增，[x,r]上单调减。试求出x的值。

分析：三分法逼近。

二分求解的时候要求是一个单调的函数，而三分则要求是个凸性函数 
 
大概就是长这个样子 
我们要求解的也就是最高的极值点取到的横坐标 
如何求解呢？ 
简单来讲呢，就是函数中存在一个点x是最大（小）值，对于x的左边，满足单调上升（下降），右边满足单调下降（上升），然后我们进行一些操作使得不断的逼近这个x点，最后求得答案。 
首先我们二分出 l r 的 中点 mid 
然后二分出 mid与r的中点 midmid 
两者取优即可。 
不用考虑是同侧还是异侧，异侧显然，而同侧满足单调性。

三分姿势有很多种，本质是一样的，最常见的有如下两种，第二种常数更小。

姿势一：mid=(l+r)/2,midmid=(mid+r)/2。

姿势二：mid=(2*l+r)/3,midmid=(l+2*r)/3。

姿势一代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define pt(a) cout<<a<<endl
#define debug test
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define PI acos(-1.0)
typedef pair<int,int> PII;
const ll mod = 1e9+7;
const int N = 1e6+10;

ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
ll qp(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
int to[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

int n;
double l,r,a[N],m,mm;

double ck(double x) {
    double res=0,tp;
    rep(i,1,n+1) {
        tp=a[i];
        rep(j,1,n+1-i) tp*=x;
        res+=tp;
    }
    return res;
}

void ts() {
    while(r-l>eps) {
        m=(l+r)/2;
        mm=(m+r)/2;
        if(ck(m)<=ck(mm)) l=m;
        else r=mm;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(5)<<r<<endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>l>>r;
    rep(i,1,n+1) cin>>a[i];
    ts();
    return 0;
}

姿势二代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<complex>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define pt(a) cout<<a<<endl
#define debug test
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define PI acos(-1.0)
typedef pair<int,int> PII;
const ll mod = 1e9+7;
const int N = 1e6+10;

ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
ll qp(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
int to[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

int n;
double l,r,a[N],m,mm;

double ck(double x) {
    double res=0,tp;
    rep(i,1,n+1) {
        tp=a[i];
        rep(j,1,n+1-i) tp*=x;
        res+=tp;
    }
    return res;
}

void ts() {
    while(r-l>eps) {
        m=(2*l+r)/3;
        mm=(l+2*r)/3;
        if(ck(m)<=ck(mm)) l=m;
        else r=mm;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(5)<<r<<endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>l>>r;
    rep(i,1,n+1) cin>>a[i];
    ts();
    return 0;
}

 

参考博客：https://blog.csdn.net/qq_35914587/article/details/79630272