2018年3月7日训练日记

程序员文章站 2024-03-19 19:05:04

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RMQ问题中的ST算法：（摘自某位大佬）

ST（Sparse Table）算法
定义：f[i][j]表示i到i+2^j-1这段区间的最大值。
预处理：f[i][0]=a[i]。即i到i区间的最大值就是a[i]。
状态转移：将f[i][j]平均分成两段，一段为f[i][j-1]，另一段为f[i+2^(j-1)][j-1]。
两段的长度均为2^j-1。f[i][j]的最大值即这两段的最大值中的最大值。

得到f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])。

void RMQ(int N){
    /*注意外部循环从j开始，
    因为初始状态为f[i][0],
    以i为外层会有一些状态遍历不到。*/ 
    for(int j=1;j<=20;j++)  
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(i+(1<<j)-1<=N)
                f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询：需要查询的区间为[i,j]，则需要找到两个覆盖这个闭区间的最小幂区间。这两个区间可以重复，因为两个区间是否相交对区间最值没有影响。（如下图）

i+2^k-1>=j-2^k+1 自己画了下，还是很容易验证的。所以一定能包含i到j整个区间。

当然求区间和就肯定不行了。这也就是RMQ的限制性。
因为区间的长度为j-i+1，所以可以取k=log2(j-i+1)。

则RMQ(A,i,j)=max(f[i][k],f[j-2^k+1][k])。

若在一棵树上进行路径的权值修改，询问路径权值和、路径权值极值，树上倍增和树链剖分都能解决后两种问题，而且树上倍增要比树链剖分代码好打，但是树链剖分能处理权值修改问题（第一种问题），而树上倍增不能。树剖的用处比树上倍增多得多，树上倍增能做的题树剖一定能做，反过来就不行了。

树剖我记得之前看过一点，但是去翻了自己的博客居然没找到，只有自己当时打的模板。。。以下树剖内容来自（路人黑的纸巾）

轻儿子和重儿子
设xsize表示以x为根的子树的节点个数
对于每个非叶子节点y，y的儿子所有中size最大的儿子就是重儿子（两个或以上都最大的话，任意选一个）
而y其它的儿子，都是轻儿子（轻儿子通常没有用，我们可以不去考虑它）
重边、轻边和重链
重儿子与其父亲之间的路径，就是重边
不是重边的边均为轻边
多条重边相连为一条重链

预处理

首先用一个dfs遍历，求出每个点的depth、father、size以及重儿子heavy_son

其次再用一个dfs剖分，第二个dfs维护什么呢？

以优先走重边的原则，遍历出来一个dfs序

xtop表示x位于的重链上的顶端节点编号

to_tree[x]表示x在线段树中的位置

对于线段树中的第y个位置，to_num[y]为它对应的dfs序中的位置

剖分完以后，每一条重链相当于一个区间，我们维护处理完的数据结构即可

我们把上面那棵树剖分完以后线段树中的点顺序是这样的：
1，3，6，10，8，9，7，2，5，4 （加粗的点是在重链上的点）
在同一条重链上的点，在线段树的顺序中要连在一起（否则怎么维护呢）

剖树的时间复杂度 O(n)O(n)

维护以及在线操作

因为已经搞过to_tree了，通过to_tree的标号在线段树中用单点修改即可
时间复杂度是线段树修改的O(log2n)O(log2n)

询问xx到yy路径的极值（或者路径和等等），和求LCALCA一样边向上跳边记录答案
这里记录的答案通过查询数据结构得到

用最普通的数据结构线段树来维护树链剖分的时间复杂度是O(n+qlog2n)

hiho600题 go!