图&网络模型（一） ：Floyd算法：快速求出任两顶点之间的最短路径

目录

Floyd 算法的基本思想

用Floyd算法求解最短路径问题

迪克斯特拉（Dijkstra）算法

Floyd算法的 Matlab程序

使用LINGO9.0编写的FLOYD算法 

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Floyd 算法的基本思想

计算赋权图中各对顶点之间短路径，显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是： 每次以不同的顶点作为起点，用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的短路径，反 复执行 n−1 次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法，称 之为 Floyd 算法。

用Floyd算法求解最短路径问题

例1  某公司在六个城市 中有分公司，从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 （∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。 

迪克斯特拉（Dijkstra）算法

解法一：用矩阵  （n为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量

求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下： 

clc,clear 
a=zeros(6); 
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; 
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; 
a(3,4)=10;a(3,5)=20; 
a(4,5)=10;a(4,6)=25; 
a(5,6)=55; 
a=a+a'; 
a(find(a==0))=inf; 
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1; 
while sum(pb)<length(a)  
    tb=find(pb==0); 
    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); 
    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); 
    temp=tb(tmpb(1)); 
    pb(temp)=1;  
    index1=[index1,temp];   
    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));  
    index2(temp)=index1(temp2(1));
end 
d, index1, index2 

Floyd算法的 Matlab程序

解法二： 矩阵path用来存放每对顶点之间短路径上所经过的顶点的序号。Floyd算法的 Matlab程序如下： 

clear;clc; 
n=6; a=zeros(n); 
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; 
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; 
a(3,4)=10;a(3,5)=20; 
a(4,5)=10;a(4,6)=25; 
a(5,6)=55; 
a=a+a'; 
M=max(max(a))*n^2; %M为充分大的正实数 
a=a+((a==0)-eye(n))*M; 
path=zeros(n); 
for k=1:n    
    for i=1:n       
        for j=1:n          
            if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)  
                a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); 
                path(i,j)=k;  
             end 
         end 
     end 
end
a, path 
 
   

使用LINGO9.0编写的FLOYD算法 

model: 
sets: 
nodes/c1..c6/; 
link(nodes,nodes):w,path;  !path标志短路径上走过的顶点; 
endsets 
data: 
path=0; 
w=0; 
@text(mydata1.txt)[e-mail](nodes(i):@writefor(nodes(j): 
    @format(w(i,j),' 10.0f')),@newline(1)); 
@text(mydata1.txt)[e-mail](@newline(1)); @text(mydata1.txt)[e-mail](nodes(i):@writefor(nodes(j): 
    @format(path(i,j),' 10.0f')),@newline(1)); 
enddata 
calc: 
w(1,2)=50;w(1,4)=40;w(1,5)=25;w(1,6)=10; 
w(2,3)=15;w(2,4)=20;w(2,6)=25; 
w(3,4)=10;w(3,5)=20; 
w(4,5)=10;w(4,6)=25;w(5,6)=55; 
@for(link(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));
@for(link(i,j) |i#ne#j:w(i,j)[e-mail](w(i,j)#eq#0,10000,w(i,j))); @for(nodes(k):@for(nodes(i):@for(nodes(j): 
    [e-mail](w(i,j),w(i,k)+w(k,j)); 
    path(i,j)[e-mail](w(i,j)#gt# tm,k,path(i,j));w(i,j)=tm))); 
endcalc 
end