Dijkstra最短路径算法
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2024-03-16 13:25:58
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求解最短路径问题
给定图G=(V(G),E(G))以及V(G)中的一对顶点u和v,我们可以把u到v的距离定义为u到v的一条边数最少的路径。用记号d(u,v)来表示这个距离。于是距离问题就是计算给定图G的d(u,v)以及两个特定的顶点u和v。
例如本图,如不考虑图上各点之间的距离,即各点之间的距离为1.则d(u,y)=2,即经过w点后到达y点的距离。若考虑各点之间的距离为图上的距离,则G中最短路径为u经过v、w两个节点z之后的长度,即1+2+3=6。因此,d(i,j)只考虑i和j间边的数目,而最短路径要考虑边的长度。
为了更简单理解最短路径的求法,我们需要一个物理类比。假设如上图所示,图中有u和y,以及每条边的边长。我们要以细绳为模型。假设上图中每个节点为细绳与细绳之间所打的结,而节点间的距离为边的权重(不管单位是米还是毫米,统一即可),细绳即是边。我们为了求u和y的最短路径,可以将细绳的u和y两个结拉紧,此时u和y的最短路径为此时绳的长度,中间的结即所经过的节点。
Dijkstra求最短路径算法
输入 | 图G=(V(G),E(G))有一个源顶点s和一个汇顶点t,以及对所有的边ij∈E(G)的非负边长cij。 |
---|---|
输出 | G中从s到t的最短路径的长度 |
第0步 | 从对每个顶点做临时标记L开始,做法如下:L(s)=0,且对除s外所有的顶点L(i)=∞ |
第1步 | 找带有最小临时标记的顶点(如果有结,随机的取一个)。使该标记变成永久标记,即该标记不再改变 |
第2步 | 对每个没有永久标记但是又带有永久标记的顶点相邻的顶点j,按如下方法计算一个新的临时标记:L(j)=min{L(i)+cij},求最小是对所有带有永久标记的顶点i做的。重复第1步和第2步,直到所有的顶点都打上了永久标记为止。 |
matlab代码求解上图u,y距离
%inf代表该点与其他点的距离为inf
% v w y u x z
W=[inf 2 inf 1 inf inf ; %v
2 inf 3 7 8 inf ; %w
inf 3 inf inf inf 4 ; %y
1 7 inf inf 6 inf ; %u
inf 8 inf 6 inf 6 ; %x
inf inf 4 inf 6 inf ;];%z
[distance,path]=Dijk(W,4,3);
function [ distance path] = Dijk( W,st,e )
%DIJK Summary of this function goes here
% W 权值矩阵 st 搜索的起点 e 搜索的终点
n=length(W);%节点数
D = W(st,:);
visit= ones(1:n); visit(st)=0;
parent = zeros(1,n);%记录每个节点的上一个节点
path =[];
for i=1:n-1
temp = [];
%从起点出发,找最短距离的下一个点,每次不会重复原来的轨迹,设置visit判断节点是否访问
for j=1:n
if visit(j)
temp =[temp D(j)];
else
temp =[temp inf];
end
end
[value,index] = min(temp);
visit(index) = 0;
%更新 如果经过index节点,从起点到每个节点的路径长度更小,则更新,记录前趋节点,方便后面回溯循迹
for k=1:n
if D(k)>D(index)+W(index,k)
D(k) = D(index)+W(index,k);
parent(k) = index;
end
end
end
distance = D(e);%最短距离
%回溯法 从尾部往前寻找搜索路径
t = e;
while t~=st && t>0
path =[t,path];
p=parent(t);t=p;
end
path =[st,path];%最短路径
end
>> Dijk(W, 4, 3)
ans =
6