欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

Dijkstra最短路径算法

程序员文章站 2024-03-16 13:25:58
...

求解最短路径问题

给定图G=(V(G),E(G))以及V(G)中的一对顶点u和v,我们可以把u到v的距离定义为u到v的一条边数最少的路径。用记号d(u,v)来表示这个距离。于是距离问题就是计算给定图G的d(u,v)以及两个特定的顶点u和v。
Dijkstra最短路径算法
例如本图,如不考虑图上各点之间的距离,即各点之间的距离为1.则d(u,y)=2,即经过w点后到达y点的距离。若考虑各点之间的距离为图上的距离,则G中最短路径为u经过v、w两个节点z之后的长度,即1+2+3=6。因此,d(i,j)只考虑i和j间边的数目,而最短路径要考虑边的长度。

为了更简单理解最短路径的求法,我们需要一个物理类比。假设如上图所示,图中有u和y,以及每条边的边长。我们要以细绳为模型。假设上图中每个节点为细绳与细绳之间所打的结,而节点间的距离为边的权重(不管单位是米还是毫米,统一即可),细绳即是边。我们为了求u和y的最短路径,可以将细绳的u和y两个结拉紧,此时u和y的最短路径为此时绳的长度,中间的结即所经过的节点。

Dijkstra求最短路径算法

输入 图G=(V(G),E(G))有一个源顶点s和一个汇顶点t,以及对所有的边ij∈E(G)的非负边长cij。
输出 G中从s到t的最短路径的长度
第0步 从对每个顶点做临时标记L开始,做法如下:L(s)=0,且对除s外所有的顶点L(i)=∞
第1步 找带有最小临时标记的顶点(如果有结,随机的取一个)。使该标记变成永久标记,即该标记不再改变
第2步 对每个没有永久标记但是又带有永久标记的顶点相邻的顶点j,按如下方法计算一个新的临时标记:L(j)=min{L(i)+cij},求最小是对所有带有永久标记的顶点i做的。重复第1步和第2步,直到所有的顶点都打上了永久标记为止。

matlab代码求解上图u,y距离

%inf代表该点与其他点的距离为inf
%   v     w    y     u     x     z  
W=[inf    2   inf    1    inf   inf  ;  %v
    2    inf   3     7     8    inf  ;  %w
   inf    3   inf   inf   inf    4   ;  %y
    1     7   inf   inf    6    inf  ;  %u
   inf    8   inf    6    inf    6   ;  %x
   inf   inf   4    inf    6    inf  ;];%z
[distance,path]=Dijk(W,4,3);
function [ distance path] = Dijk( W,st,e )
%DIJK Summary of this function goes here
%   W  权值矩阵   st 搜索的起点   e 搜索的终点
n=length(W);%节点数
D = W(st,:);
visit= ones(1:n); visit(st)=0;
parent = zeros(1,n);%记录每个节点的上一个节点
 
path =[];
 
for i=1:n-1
    temp = [];
    %从起点出发,找最短距离的下一个点,每次不会重复原来的轨迹,设置visit判断节点是否访问
    for j=1:n
       if visit(j)
           temp =[temp D(j)];
       else
           temp =[temp inf];
       end
       
    end
    
    [value,index] = min(temp);
   
    visit(index) = 0;
    
    %更新 如果经过index节点,从起点到每个节点的路径长度更小,则更新,记录前趋节点,方便后面回溯循迹
    for k=1:n
        if D(k)>D(index)+W(index,k)
           D(k) = D(index)+W(index,k);
           parent(k) = index;
        end
    end
    
   
end
 
distance = D(e);%最短距离
%回溯法  从尾部往前寻找搜索路径
t = e;
while t~=st && t>0
 path =[t,path];
  p=parent(t);t=p;
end
path =[st,path];%最短路径
 
end
>> Dijk(W, 4, 3)
ans =
     6