多项式求ln,exp

迭代法求零点

已知$f$f是一个多项式对多项式的函数，现要逼近f的零点，采用倍增法：

假如要求A模$x^n$xn意义下的值，则预先求出A0为A模$x^{n/2}$xn/2意义下的值
由泰勒展开，$f(A)=f(A0)+f'(A0)(A-A0)$f(A)=f(A0)+f′(A0)(A−A0)在模$x^n$xn意义下成立。令$f(A)=0$f(A)=0，化简后：
$A=A0-\frac {f(A0)} {f'(A0)}$A=A0−f′(A0)f(A0)​
（牛顿迭代的式子）
由此式可求出A在模$x^n$xn意义下的值。

推求逆

求D的逆，令$f(x)=\frac 1 x - D$f(x)=x1​−D即可

推开方

令$f(x)=x^2-D$f(x)=x2−D即可

推exp

令$f(x)=\ln x-D$f(x)=lnx−D即可。
注意此时，由于上式泰勒展开是对多项式x进行的，因此$\ln x$lnx的导数直接就是$1/x$1/x

推ln

这个和迭代没啥关系
先求其导函数，再求其积分
注意此时是对数x求导，而不是多项式，所以是复合函数求导。

$\ln' F(x)=\frac {F'(x)} {F(x)}$ln′F(x)=F(x)F′(x)​
计算出上式后积分即可。
求ln时要保证给定多项式常数项为1，最后结果常数项默认为0。

积分、求导

O(n)计算即可。积分的常数项视作0.

板子

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=998244353,N=1e6+10000;
int cnt[N],n,m,Mx,mx;
ll g[N],w[N],iw[N],jc[N],njc[N],ans[N],inv[N];
ll ksm(ll x,ll y){
	ll ret=1;for(;y;y>>=1){
		if(y&1)ret=ret*x%mo;
		x=x*x%mo;
	}
	return ret;
}

int h[N];
void dft(ll *a,int sz,int sig){
	for(int i=0;i<sz;i++){
		h[i]=(h[i>>1]>>1)+(sz>>1)*(i&1);
		if(h[i]<i)swap(a[i],a[h[i]]);
	}
	for(int m=2;m<=sz;m<<=1){
		int hf=m>>1,step=Mx/m;
		for(int i=0;i<sz;i+=m){
			for(int j=0;j<hf;j++){
				ll T=a[i+j+hf]*(sig==1?w[j*step]:iw[j*step])%mo;
				a[i+j+hf]=(a[i+j]-T)%mo;
				a[i+j]=(a[i+j]+T)%mo;
			}
		}
	}
	if(sig==-1){
		ll ny=ksm(sz,mo-2);
		for(int i=0;i<sz;i++)a[i]=a[i]*ny%mo;
	}
}

ll ZZ[N],TT[N];
void getinv(ll *T,ll *Z,int sz){
	memset(T,0,sz*8*2);
	memset(TT,0,sz*8*2);
	memset(ZZ,0,sz*8*2);

	T[0]=ksm(Z[0],mo-2);
	for(int r=2;r<=sz;r<<=1){
		memcpy(TT,T,r*8);
		dft(TT,2*r,1);
		memcpy(ZZ,Z,r*8);
		dft(ZZ,2*r,1);
		for(int i=0;i<2*r;i++)T[i]=TT[i]*(2-ZZ[i]*TT[i]%mo)%mo;
		dft(T,2*r,-1);
		for(int i=r;i<2*r;i++)T[i]=0;
	}
}

void qiudao(ll *a,int sz){
	for(int i=0;i<sz;i++)
		a[i]=a[i+1]*(i+1)%mo;
}

void jifen(ll *a,int sz){
	for(int i=sz-1;i;i--)a[i]=a[i-1]*inv[i]%mo;
	a[0]=0;
}

ll OO[N];

void getln(ll *U,ll *O,int sz){
	memset(U,0,sz*8*2);
	memcpy(U,O,sz*8);
	qiudao(U,sz);
	getinv(OO,O,sz);
	dft(U,sz*2,1);
	dft(OO,sz*2,1);
	for(int i=0;i<sz*2;i++)U[i]=U[i]*OO[i]%mo;
	dft(U,sz*2,-1);
	for(int i=sz;i<2*sz;i++)U[i]=0;
	jifen(U,sz);
}

ll lnd[N],DD[N],SS[N];
void getexp(ll *D,ll *S,int sz){
	memset(D,0,sz*8*2);
	memset(DD,0,sz*8*2);
	memset(SS,0,sz*8*2);
	memset(lnd,0,sz*8*2);
	D[0]=1;
	for(int r=2;r<=sz;r<<=1){
		getln(lnd,D,r);
		for(int i=0;i<r;i++)lnd[i]=(-lnd[i]+S[i])%mo;
		lnd[0]++;
		dft(lnd,2*r,1);
		memcpy(DD,D,8*r);
		dft(DD,2*r,1);
		for(int i=0;i<2*r;i++)
			D[i]=DD[i]*lnd[i]%mo;
		dft(D,2*r,-1);
		for(int i=r;i<2*r;i++)D[i]=0;
	}
}
ll TE[N];
int main() {
	freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;scanf("%d",&x);cnt[x]++;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)if(cnt[i]){
		for(int j=i;j<=m;j+=i){
			g[j-1]=(g[j-1]+i*cnt[i])%mo;
		}
	}
	for(Mx=1;Mx<=m*2;Mx<<=1);
	w[0]=iw[0]=1;w[1]=ksm(3,(mo-1)/Mx); 
	iw[1]=ksm(w[1],mo-2);
	for(int i=2;i<Mx;i++){
		w[i]=w[i-1]*w[1]%mo,iw[i]=iw[i-1]*iw[1]%mo;
	}
	jc[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	njc[m]=ksm(jc[m],mo-2);

	for(int i=m-1;~i;i--)njc[i]=njc[i+1]*(i+1)%mo;
	for(int i=1;i<=m;i++)inv[i]=njc[i]*jc[i-1]%mo;

	jifen(g,m+1);
	getexp(ans,g,Mx>>1);
	for(int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",(ans[i]+mo)%mo);
}