霍夫曼树(Huffman tree)

 

1.基本概念

• 霍夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。
• 树的带权路径长度：设一棵二叉树有 n 个叶子结点，每个叶子结点拥有一个权值Ｗ 1 ，Ｗ 2 ， ...... Ｗ n ，从根结点到每个叶子结点的路径长度分别为 L1 ， L2......Ln ，那么树的带权路径长度为从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)。可以证明霍夫曼树的WPL是最小的。

 

2.构造霍夫曼树的方法

对于已知的一组叶子的权值Ｗ 1 ，Ｗ 2...... ，Ｗ n

①首先把 n 个叶子结点看做 n 棵树（仅有一个结点的二叉树），把它们看做一个森林。

②在森林中把权值最小和次小的两棵树合并成一棵树，该树根结点的权值是两棵子树权值之和。这时森林中还有 n-1 棵树。

③重复第②步直到森林中只有一棵为止。此树就是哈夫曼树。

 

n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。

 

3.霍夫曼编码

霍夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，是一种用于无损数据压缩的熵编码（权编码）算法。1952年，David A. Huffman在麻省理工攻读博士时所发明的，并发表于《一种构建极小多余编码的方法》（A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes）一文。

 

在通信及数据传输中多采用二进制编码。为了使电文尽可能的缩短，可以对电文中每个字符出现的次数进行统计。设法让出现次数多的字符的二进制码短些，而让那些很少出现的字符的二进制码长一些。假设有一段电文，其中A，B，C，D出现的频率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1。则得到的哈夫曼树和二进制前缀编码如图所示。在树中令所有左分支取编码为 0 ，令所有右分支取编码为1。将从根结点起到某个叶子结点路径上的各左、右分支的编码顺序排列，就得这个叶子结点所代表的字符的二进制编码。

 

这些编码拼成的电文不会混淆，因为每个字符的编码均不是其他编码的前缀，这种编码称做前缀编码。

4.霍夫曼编码实现

 下面是java实现的霍弗曼编码，包括霍夫曼树的构造，编码和解码。

package com.iteye.cake513.code;

import java.util.*;
/** 
 * @ClassName: Huffman 
 * @Description: TODO(Huffman编码) 
 * @author liujie
 * @date 2011-10-4 下午09:49:29 
 *  
 */

class HuffmanNode implements Comparable<HuffmanNode> {
	
	private char letter;
	private int count;//字符letter出现的频率，即权重
	private HuffmanNode left;
	private HuffmanNode right;
	
	public HuffmanNode(char letter, int count) {
		this.letter = letter;
		this.left = null;
		this.right = null;
		this.count = count;
	}
	
	public HuffmanNode(HuffmanNode left, HuffmanNode right) {
		this.letter = '?';
		this.left = left;
		this.right = right;
		this.count = left.count + right.count;
	}
	
	//为了进行排序
	public int compareTo(HuffmanNode o) {
		return count - o.count;
	}
	
	public boolean isLeaf() {
		return(this.left == null && this.right == null);
	}

	public HuffmanNode getLeft() {
		return left;
	}

	public HuffmanNode getRight() {
		return right;
	}

	public char getLetter() {
		return letter;
	}

}

public class Huffman {
	
	private HuffmanNode root;
	private HashMap<Character, String> map;//用于存放字符到编码的映射
	
	@SuppressWarnings("unchecked")
	public Huffman() {
		char[] letters = "bekprs_&".toCharArray();
		int[] counts = {2,7,1,1,1,2,2,1};
		map = new HashMap<Character, String>();
		root = generateTree(letters, counts);
		
		generateCodes(root, "");
		for (int i = 0; i < letters.length; i++) {
			System.out.print(letters[i] + "(" + counts[i] +") ");
		}
		System.out.println("生成二进制编码如下：");
		Iterator itr = map.entrySet().iterator();
		while (itr.hasNext()) {
			Map.Entry entry = (Map.Entry)itr.next();
			System.out.print(entry.getKey() + ":" + entry.getValue() +" ");
		}
		System.out.println();
	}
	
	//构造霍夫曼树
	private HuffmanNode generateTree(char[] letters, int[] counts) {
		List<HuffmanNode> list = new LinkedList<HuffmanNode>();
		
		for(int i = 0; i < letters.length; i++) {
			list.add(new HuffmanNode(letters[i], counts[i]));
		}
		while (true) {
			Collections.sort(list);
			HuffmanNode a = list.remove(0);
			if (list.isEmpty()) {
				return a;
			}
			HuffmanNode b = list.remove(0);
			list.add(new HuffmanNode(a, b));
		}
	}
	
	//生成编码，存放在HashMap中，key对应letter，value对应letter的二进制编码
	private void generateCodes(HuffmanNode root, String code) {
		if (root.isLeaf()) {
			map.put(root.getLetter(), code);
		} else {
			generateCodes(root.getLeft(), code + "0");
			generateCodes(root.getRight(), code + "1");
		}
	}
	
	//对给定电文进行编码，messag中的字符必须属于生成编码用到的字符集合letters
	private String encode(String message) {
		StringBuilder result = new StringBuilder();
		
		for (char c : message.toCharArray()) {
			result.append(map.get(c) + " ");
		}
		return result.toString();
	}
	
	//对编码进行解码
	public String decode(String encodeMessage) {
		StringBuilder result = new StringBuilder();
		HuffmanNode node = root;
		
		for (char c : encodeMessage.toCharArray()) {
			if (c == '0') {
				node = node.getLeft();
			} else if (c == '1') {
				node = node.getRight();
			}
			if (node.isLeaf()) {
				result.append(node.getLetter());
				node = root;
			}
		}
		return result.toString();
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		Huffman hfm = new Huffman();
		
		String encode = hfm.encode("beekeepers_&_bees");
		System.out.println("对beekeepers_&_bees编码：" + encode);
		String decode = hfm.decode(encode);
		System.out.println("对上面进行解码：" + decode);
	}
}