[算法竞赛入门经典UVa1606]两亲性分子

题目

题目大意：

平面上有n($n \le 1000$n≤1000)个点，每个点为白点或者黑点。现在需要放置一条隔板，使得隔板一侧的白点数加上另一侧的黑点数总数最大。隔板上的点可以看作是任意一侧。

这个题的思路是先枚举基准点A，再以基准点A为原点，算出其他点相对基准点的位置，以基准点为原点建立坐标；枚举其它点中的一个B，让基准点A和点B连成一条线作为本题的隔板，统计隔板两边黑点和白点的个数，更新答案。

解题方法：

白点黑点的处理：

把黑点旋转180°，然后统计时只统计隔板一侧的点数

判断点在隔板的一侧：首先把所有其他点按照极角增序排序，利用叉积来判断两个点之间的夹角，如果大于0那么在隔板左侧，等于0和隔板共线

极角：

利用atctan函数

c++中有两个计算极角的函数：atan（反正切函数）和atan2（四象限反正切函数）

atan的取值范围为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$(−2π​,2π​) atan2的取值范围为$(-{\pi},{\pi})$(−π,π)

atan2函数可以区分点所在的象限，更加准确

叉积：

$\vec u \times \vec v=(u_1v_2-u_2v_1) \vec n = ( \vert \vec u \vert \vert \vec v \vert sin \theta ) \vec n$u×v=(u1​v2​−u2​v1​)n=(∣u∣∣v∣sinθ)n

$(1)当u_1v_2-u_2v_1 > 0,sin\theta >0 ,\theta \in (0,\pi) , \vec v相对 \vec n逆时针旋转 \pi以内$(1)当u1​v2​−u2​v1​>0,sinθ>0,θ∈(0,π),v相对n逆时针旋转π以内

$(2)当u_1v_2-u_2v_1 &lt; 0,sin\theta &lt;0 ,\theta \in (\pi,2\pi) , \vec v相对 \vec n逆时针旋转 \pi以上$(2)当u1​v2​−u2​v1​<0,sinθ<0,θ∈(π,2π),v相对n逆时针旋转π以上

$(3)u_1v_2-u_2v_1 = 0,sin\theta = 0 , \vec v 与 \vec n共线$(3)u1​v2​−u2​v1​=0,sinθ=0,v与n共线

扫描时计算L和R的叉积如果$\ge0$≥0，那么新点R在隔板L的左侧，符合要求

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<(int)(b);++i)
const int maxn=1005;
int n,color[maxn];

struct node
{
    int x,y;
    double rad;
    bool operator < (const node& rhs)const
    {
        return rad<rhs.rad;
    }
}op[maxn],p[maxn];

bool left(node& A,node& B)//叉积
{
    return A.x*B.y-A.y*B.x>=0;
}

int infer()
{
    if(n<=2)
        return 2;
    int ans=0;
    rep(i,0,n)
    {
        int k=0;
        rep(j,0,n)
            if(i!=j)
            {
                p[k].x=op[j].x-op[i].x;
                p[k].y=op[j].y-op[i].y;
                if(color[j])//把黑点坐标旋转180,并且统计时只统计一边
                {
                    p[k].x=-p[k].x;
                    p[k].y=-p[k].y;
                }
                p[k].rad=atan2(p[k].y,p[k].x);
                ++k;
            }
        std::sort(p,p+k);
        int L=0,R=0,cnt=2;//开始有两个点,一个是i,也就是算完相对位置后的原点,一个是L
        while(L<k)//把隔板L转圈,一直转完所有的点
        {
            if(L==R)//???
            {
                R=(R+1)%k;//R为[0,k)
                ++cnt;
            }
            while(R!=L&&left(p[L],p[R]))//R是L左边的点,右手定则
            {
                R=(R+1)%k;
                ++cnt;
            }
            --cnt;//舍去多计入的点,也可以理解为由于分隔线的旋转,原来在分隔线上的点现在变为了右侧的点,要减掉一个
            ++L;
            ans=std::max(ans,cnt);
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)
    {
        rep(i,0,n)
            scanf("%d%d%d",&op[i].x,&op[i].y,&color[i]);
        printf("%d\n",infer());
    }
    return 0;
}

参考：

atan2与极坐标

叉积