背包问题

问题

假定背包的最大容量为W，N件物品，每件物品都有自己的价值和重量，将物品放入背包中使得背包内物品的总价值最大。

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可以想象这样一个场景——小偷在屋子里偷东西，他带着一只背包。屋子里物品数量有限——每件物品都具有一定的重量和价值——珠宝重量轻但价值高，桌子重但价值低。最重要的是小偷背包容量有限。很明显，他不能把桌子分成两份或者带走珠宝的3/4。对于一件物品他只能选择带走或者不带走。

示例：

Knapsack Max weight : W = 10 (units) 
Total items         : N = 4
Values of items     : v[] = {10, 40, 30, 50} 
Weight of items     : w[] = {5, 4, 6, 3}

从示例数据大致估算一下，最大重量为10时背包能容纳的物品最大价值为50+40=90，重量为7。

解决方法：

最佳的解决方法是使用动态规划——先得到该问题的局部解然后扩展到全局问题解。

构建物品X在不同重量时的价值数组V(Value数组)：

V[N+1][W+1]

该矩阵中的每个值的求解都代表一个更小的背包问题。

初始情况一：对于第0列，它的含义是背包的容量为0。此时物品的价值呢？没有。因此，第一列都填入0。

初始情况二：对于第0行，它的含义是屋内没有物品。那么没有任何物品的背包里的价值多少呢？还是没有！所有都是0。

步骤：

1、现在，开始填入数组每一行的值。第1行第1列代表什么含义呢？对于第一个物品，可以把重量为1的该物品放入背包吗？不行。第一个物品的重量是5。因此，填入0。实际上直到第5列（重量5）之前都应该填入0。

2、对于第1行的第5列（重量5），意味着将物品1放入背包。填入10（注意，这是Value数组）：

3、继续，对于第6列，我们可以再放入重量为1（重量值-物品的重量）的物品吗。我们现在只考虑物品1。由于我们加入物品1之后就不能再加入额外的重量，可以很直观地看到其余的列都应该还是相同的值。

4、接着，有意思的事情就要出现了。在第3行第4列，此时重量为4。

需要作以下判断：

1. 可以放入物品2吗——可以。物品2的重量为4。
2. 不加入物品2的话当前已有物品的重量的Value值是否更大——查看相同重量时的前一行的值。不是。前一行的值为0，重量4时不能放入物品1。
3. 在这个重量时可以放入两件物品使得价值最大吗？——不能。此时重量减去物品2的重量后为0。

为什么是前一行？

简单来说，重量为4的前一行的值本身就是个更小的背包问题解，它的含义是到该重量时背包内物品的最大价值（通过遍历物品得到）。

举个例子：

1. 当前物品价值 = 40
2. 当前物品重量 = 4
3. 剩余重量 = 4-4 = 0
4. 查看上面的行（物品1或者其余行的值）。剩余容量为0时，可以再容纳物品1吗？对于该给定的重量值上面的行还有任何值吗？

计算过程如下：

1) 计算不放入该物品时该重量的最大价值：

previous row, same weight = 0 
=> V[item-1][weight]

2) 计算当前物品的价值 + 可以容纳的剩余重量的价值

Value of current item
+ value in previous row with weight 4 (total weight until now (4) - weight of the current item (4))
=> val[item-1] + V[item-1][weight-wt[item-1]]

找到二者之中的最大值40（0和40）。

3) 下一次最重要的位置为第2行第9列。意味着此时重量为9，放入两件物品。根据示例数据现在可以放入两件物品。我们作了以下判断：

1. The value of the current item = 40
2. The weight of the current item = 4
3. The weight that is left over = 9 - 4 = 5
4. Check the row above.  At the remaining weight 5, are we able to accommodate Item 1.

计算如下：

1. 不加入该物品时该重量的最大价值：

   previous row, same weight = 10

2. 计算当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值

   Value of current item (40)
   + value in previous row with weight 5 (total weight until now (9) - weight of the current item (4)) 
   = 10

   10vs50 = 50。

   解决了所有的子问题之后，返回V[N+1][W+1]的值——4件物品重量为10时：

   

   复杂度

   解法的复杂度非常直观。在N次循环中有W次循环 => O(NW)

   实现

   Java代码实现：

   class Knapsack {
      public static void main(String[] args) throws Exception {
          int val[] = {10, 40, 30, 50};
          int wt[] = {5, 4, 6, 3};
          int W = 10;
   
          System.out.println(knapsack(val, wt, W));
      }
   
      public static int knapsack(int val[], int wt[], int W) {
          int N = wt.length; 
          int[][] V = new int[N + 1][W + 1]; 
          for (int col = 0; col <= W; col++) {
              V[0][col] = 0;
          }
          for (int row = 0; row <= N; row++) {
              V[row][0] = 0;
          }
   
          for (int item=1;item<=N;item++){
              for (int weight=1;weight<=W;weight++){
                  if (wt[item-1]<=weight){
                      V[item][weight]=Math.max (val[item-1]+V[item-1][weight-wt[item-1]], V[item-1][weight]);
                  }
                  else {
                      V[item][weight]=V[item-1][weight];
                  }
              }
   
          }
   
          //Printing the matrix
          for (int[] rows : V) {
              for (int col : rows) {
                  System.out.format("%5d", col);
              }
              System.out.println();
          }
   
          return V[N][W];
      }
   }

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