不同的二叉搜索树

leetcode_【96】不同的二叉搜索树

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

1.题目描述

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1      3     3     2     1
 \     /    /     / \     \
 3    2    1     1   3     2
 /   /      \               \
 2  1        2               3

2.解题思路

动态规划：

(1)初始化

• n = 1时，只含有1，1作为根节点，此时二叉搜索数个数为1；

(2) 状态转移矩阵

• （1）假设n个节点存在二叉排序树的个数是dp[i]，令f[i]为以i为根的二叉搜索树的个数，则
       dp[n] = f[1] + f[2] + f[3] + f[4] + ... + f[n]

• （2）当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
       f [i] = dp[i-1] * dp[n-i]

• 综合两个公式可以得到卡特兰数公式
      dp[n] = dp[0] * dp[n-1] + dp[1] * dp[n-2]+...+dp[n-1] * dp[0]
         = dp[n-1] * C(2n,n)
          = dp[n-1] * (4*n-2)/(n-1)

3.代码

class Solution {
  public static int numTrees(int n) {
        //n个节点存在二叉树的个数
        long []dp = new long[n+1];
        //以i为根节点的二叉树个数
        dp[1] = 1;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
        }
        return (int) dp[n];
    }
}

4.提交记录

leetcode-【95】不同的二叉搜索树

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees-ii/

1.题目描述

给定一个整数 n，生成所有由 1 … n 为节点所组成的二叉搜索树。

示例:

输入: 3
输出:
[
[1,null,3,2],
[3,2,null,1],
[3,1,null,null,2],
[2,1,3],
[1,null,2,null,3]
]
解释:
以上的输出对应以下 5 种不同结构的二叉搜索树：

1        3      3      2        1
 \      /      /      / \        \
 3     2      1      1   3        2
 /    /        \                   \
 2   1          2                   3

2.解题思路

• (1)当n = 1时，此时只有一个以1为根节点的二叉搜索树

• (2) 当n > 1时，当以 i 为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，依次递归遍历，分别放到left和right列表中，然后再先序遍历放入res结果中。

3.代码

static class Solution {
        public static List<TreeNode> generateTrees(int n) {
            List<TreeNode> res = new LinkedList<>();
            if (n == 0)
                return res;
            return generateTrees(1, n);
        }
        static private List<TreeNode> generateTrees(int start, int end) {
            //n = 1 的情况，只有一个，就是根节点为1的二叉搜索树
            if (start == end) {
                List<TreeNode> list = new ArrayList<>();
                TreeNode node = new TreeNode(start);
                list.add(node);
                return list;
            }
            //以 i 为根节点，左子树为start~(i-1),右子树为(i+1)~n
            List<TreeNode> res = new ArrayList<>();
            for (int i = start; i <= end; i++) {
                List<TreeNode> left = new ArrayList<>();
                List<TreeNode> right = new ArrayList<>();
                if (i != start) {
                    //说明有左子树
                    left = generateTrees(start, i - 1);
                }
                if (i != end) {
                    //说明有右子树
                    right = generateTrees(i + 1, end);
                }
                //先序遍历存入res里面
                if (!left.isEmpty() && !right.isEmpty()) {
                    for (TreeNode l : left) {
                        for (TreeNode r : right) {
                            TreeNode root = new TreeNode(i);
                            root.left = l;
                            root.right = r;
                            res.add(root);
                        }
                    }
                } else if (!left.isEmpty()) {
                    for (TreeNode l : left) {
                        TreeNode root = new TreeNode(i);
                        root.left = l;
                        res.add(root);
                    }
                } else if (!right.isEmpty()) {
                    for (TreeNode r : right) {
                        TreeNode root = new TreeNode(i);
                        root.right = r;
                        res.add(root);
                    }
                }
            }
            return res;
        }

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
        if(n<=0)    
            return new ArrayList<TreeNode>();
        return generate(1,n);
    }
    public List<TreeNode> generate(int start,int end){
        List<TreeNode> res=new ArrayList<>();
        if(start>end){
            res.add(null);
            return res;
        }
        for(int i=start;i<=end;i++){
            // 递归遍历左子树
            List<TreeNode> leftTrees=generate(start,i-1);
            // 递归遍历右子树
            List<TreeNode> rightTrees=generate(i+1,end);
            //先序遍历存入以i为根节点的二叉搜索树
            for(TreeNode left:leftTrees){
                for(TreeNode right:rightTrees){
                    TreeNode root=new TreeNode(i);
                    root.left=left;
                    root.right=right;
                    res.add(root);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

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