【leetcode】4. Median of Two Sorted Arrays

Problem Description

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Solutions

• leetcode提供的Approach 1: Recursive Approach
• 我参考的较清晰的中文版解释

核心思想是要将中位数的定义转化为“Dividing a set into two equal length subsets, that one subset is always greater than the other.”

代码思路：
1. 第一种情况：两个list中有一个list为空；直接返回另一个list的中位数。
这里有两种方式可解决元素个数的奇/偶需分开讨论的问题：1) 利用向下取整的trick，见代码;2)利用list[m]和list[~m]；虽然本质是一样的
2. 在算法中，根据‘two equal length subsets’的约束条件，我们只需loop查询两个list中的一个list即可，因为知道list1的cut的位置，根据等长约束，list2中cut的位置即可计算出。为了提高效率，使时间复杂度为 O(log(min(m,n)))（m, n分别为list1和list2的元素个数），不妨假设m<=n，不满足时调换两个list的位置即可
3. 两个list均非空的情况；寻找使‘left is always greater than right’约束条件成立的list1中cut的位置。这里分三种情况：1) l1 > r2, cut1 需左移；2) l2 > r1, cut1 需右移 3) l1 < r2 and l2 < r1，stop。
4. 有两种边缘特殊情况需考虑：1) max(nums1) < min(nums2) 2) min(nums1) > max(nums2)；这里有一个非常巧妙的处理——在list两端分别添加MIN_VALUE和MAX_VALUE，便于将两种边缘特殊情况与普通情况一起处理
5. 两个list均非空的情况返回结果时，需分别考虑元素个数奇偶情况：偶数——返回 （max(left)+min(right))/2；奇数——因为是向下取整，所以右边会多一个元素，返回min(right)即可。

详细代码如下： Github link

# Runtime: 92 ms
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        MAX_VALUE = float('Inf')
        MIN_VALUE = -float('Inf')

        # 获取list元素个数
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        if m == 0:  # nums1为空
            # 这里有个小trick
            # n为奇数时，nums2[int((n-1)/2)]和nums2[int(n/2)]是同一个数，即中位数
            # n为偶数时，nums2[int((n-1)/2)]和nums2[int(n/2)]分别为最中间的两个数
            # 这是因为int(n/2)是向下取整，int(1.5) == 1
            # 向下取整的功能也可以通过 '//' 运算符实现
            return float((nums2[int((n - 1) / 2)] + nums2[int(n / 2)]) / 2)
        if n == 0:  # 同理，nums2为空
            return float((nums1[(m - 1) // 2] + nums1[m // 2]) / 2)

        if m > n:  # 为了提高效率，保证进行loop遍历的是较短的list
            return Solution.findMedianSortedArrays(self, nums2, nums1)

        # 两个list均非空的情况
        # 割的范围初始化
        size = m + n
        CutL = 0
        CutR = m
        cut1 = m // 2  # 短list的割的位置

        while cut1 <= m:  # 寻找满足 l1<r2 and l2<r1的割的位置
            cut1 = (CutR - CutL) // 2 + CutL  # 短list的割的位置
            cut2 = size // 2 - cut1  # 长list的割的位置

            # 在list两端分别添加MIN_VALUE和MAX_VALUE，便于将两种边缘特殊情况与普通情况一起处理
            # 两种边缘特殊情况即：1. max(nums1)<min(nums2)  2. min(nums1)>max(nums2)
            # 获取割两边的值
            l1 = MIN_VALUE if cut1 == 0 else nums1[cut1 - 1]  # 相当于Java中的三目运算符'?:',只有当min(nums1)>max(nums2)时，l1取值MIN_VALUE
            l2 = MIN_VALUE if cut2 == 0 else nums2[cut2 - 1]  # 同上,其实取不到特殊情况？
            r1 = MAX_VALUE if cut1 == m else nums1[cut1]  # 只有当max(nums1)<min(nums2时，l1取值MIX_VALUE
            r2 = MAX_VALUE if cut2 == n else nums2[cut2]

            if l1 > r2:  # l1>r2, cut1需左移
                CutR = cut1 - 1
            elif l2 > r1:  # l2>r1, cut1需右移
                CutL = cut1 + 1
            else:  # 满足 l1<r2 and l2<r1
                if size % 2 == 0:  # 两个list的元素总个数为偶数
                    l = l1 if l1 > l2 else l2
                    r = r1 if r1 < r2 else r2
                    return float((l + r) / 2)
                else:  # 两个list的元素总个数为奇数
                    r = r1 if r1 < r2 else r2
                    return float(r)

这是符合时间复杂度要求O(log (m+n))的一种解法，实际时间复杂度为O(log(min(m,n)))

另外有一种时间复杂度为O(nlogn)的解法（考虑sort时间复杂度，虽然这两种解法都可以被accepted），代码简短，各取所需

# sample 88 ms submission
# 我提交这种方案仍然是 Runtime: 92 ms
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        num = nums1 + nums2
        num = sorted(num)
        l = len(num)
        if l % 2 == 0:
            return (num[l//2-1]+num[l//2])/2*1.0
        else:
            return num[l//2]*1.0


# sample 92 ms submission
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        nums1 += nums2
        nums1.sort()
        m = int(len(nums1) / 2)
        return (nums1[m] + nums1[~m]) / 2