中点画圆算法

程序员文章站 2022-07-14 09:46:00

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在平面解析几何中，圆的方程可以描述为(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2，其中(x0, y0)是圆心坐标，R是圆的半径，特别的，当(x0, y0)就是坐标中心点时，圆方程可以简化为x2 + y2 = R2。在计算机图形学中，圆和直线一样，也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的圆的生成，对于中心不是原点的圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的圆。

在进行扫描转换之前，需要了解一个圆的特性，就是圆的八分对成性。如图（1）所示：

中点画圆算法

图（1）圆的八分对称性

圆心位于原点的圆有四条对称轴x = 0、y = 0、x = y和x = -y，若已知圆弧上一点P(x，y)，就可以得到其关于四条对称轴的七个对称点：（x, -y）、（-x, y）、（-x, -y）、（y, x）、（y, -x）、（-y, x）、（-y, -x），这种性质称为八分对称性。因此只要能画出八分之一的圆弧，就可以利用对称性的原理得到整个圆。

1、中点画圆法

考虑圆心在原点，半径为R的圆在第一象限内的八分之一圆弧，从点（0, R）到点（R' , R' ）顺时针方向确定这段圆弧。假定某点Pi(xi, yi)已经是该圆弧上最接近实际圆弧的点，那么Pi的下一个点只可能是正右方的P1或右下方的P2两者之一，如图（2）所示：

中点画圆算法

图（2）中点划线法示例

构造判别函数：

F(x, y）= x2 + y2 – R2

当F(x, y）= 0，表示点在圆上，当F(x, y）> 0，表示点在圆外，当F(x, y）< 0，表示点在圆内。如果M是P1和P2的中点，则M的坐标是（xi + 1, yi – 0.5），当F（xi + 1, yi – 0.5）< 0时，M点在圆内，说明P1点离实际圆弧更近，应该取P1作为圆的下一个点。同理分析，当F（xi + 1, yi – 0.5）> 0时，P2离实际圆弧更近，应取P2作为下一个点。当F（xi + 1, yi – 0.5）= 0时，P1和P2都可以作为圆的下一个点，算法约定取P2作为下一个点。

现在将M点坐标（xi + 1, yi – 0.5）带入判别函数F(x, y），得到判别式d：

d = F（xi + 1, yi – 0.5）= (xi + 1)2 + (yi – 0.5)2 – R2

若d < 0，则取P1为下一个点，此时P1的下一个点的判别式为：

d’ = F（xi + 2, yi – 0.5）= (xi + 2)2 + (yi – 0.5)2 – R2

展开后将d带入可得到判别式的递推关系：

d’ = d + 2xi + 3

若d > 0，则取P2为下一个点，此时P2的下一个点的判别式为：

d’ = F（xi + 2, yi – 1.5）= (xi + 2)2 + (yi – 1.5)2 – R2

展开后将d带入可得到判别式的递推关系：

d’ = d + 2(xi - yi) + 5

特别的，在第一个象限的第一个点（0, R）时，可以推倒出判别式d的初始值d0：

d0 = F(1, R – 0.5) = 1 – (R – 0.5)2 – R2 = 1.25 - R

根据上面的分析，可以写出中点画圆法的算法。考虑到圆心不在原点的情况，需要对计算出来的坐标进行了平移，下面就是通用的中点画圆法的源代码：

void MP_Circle(int xc , int yc , int r)
{
   int x, y;
   double d;
   x = 0;
    y = r;
    d = 1.25 - r;
   CirclePlot(xc , yc , x , y);
   while(x < y)
   {
        if(d < 0)
       {
           d = d + 2 * x + 3;
       }
       else
       {
           d = d + 2 * ( x - y ) + 5;
           y--;
        }
        x++;
        CirclePlot(xc , yc , x , y);
    }
}

参数xc和yc是圆心坐标，r是半径，CirclePlot()函数是参照圆的八分对称性完成八个点的位置计算的辅助函数。

通过EasyX实现画一个同心圆环：

#include <graphics.h>
#include <conio.h>

// 中点画圆法
void Circle_Midpoint(int x, int y, int r, int color)
{
	int tx = 0, ty = r, d = 1.25 - r;

	while (tx <= ty)
	{
		// 利用圆的八分对称性画点
		putpixel(x + tx, y + ty, color);
		putpixel(x + tx, y - ty, color);
		putpixel(x - tx, y + ty, color);
		putpixel(x - tx, y - ty, color);
		putpixel(x + ty, y + tx, color);
		putpixel(x + ty, y - tx, color);
		putpixel(x - ty, y + tx, color);
		putpixel(x - ty, y - tx, color);

		if (d < 0)
			d += 2 * tx + 3;
		else
			d += 2 * (tx - ty) + 5, ty--;

		tx++;
	}
}

// 主函数
int main()
{
	initgraph(640, 480);

	// 测试画圆
	Circle_Midpoint(320, 240, 200, RED);
	Circle_Midpoint(320, 240, 101, RED);

	// 按任意键退出
	_getch();
	closegraph();
	return 0;
}

结果如下：

中点画圆算法