unity 贝塞尔曲线算法

在任意几个点坐标绘制出的一条曲线，就叫贝赛尔曲线。

线性公式

            等同于线性插值

这个最简单，就是很普通的插值算法，给定p0,p1，t取值范围0到1

    // 线性
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, float t)
    {
        return (1 - t) * p0 + t * p1;
    }

二次方公式

        

        

        p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;

        p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;

        B(t) = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;

        B(t)  = ((1 - t) * ((1 - t) * p0 + t * p1)) + (t * ((1 - t) * p1 + t * p2))

二次方的也不是很难理解，还是求插值，p0和p1的插值，p1和p2的插值，在求这两个插值(vector3)的插值

    // 二阶曲线
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t)
    {
        Vector3 p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;
        Vector3 p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;
        Vector3 result = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;
        return result;
    }

三次方公式

        

        

         p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;

         p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;

         p2p3 = (1 - t) * p2 + t * p3;

         p0p1p2 = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;

         p1p2p3 = (1 - t) * p1p2 + t * p2p3;

         B(t) = (1 - t) * p0p1p2 + t * p1p2p3;

三次方的曲线其实和二次没有太大区别，不过是多了一个点，就多了一层要计算的插值

    // 三阶曲线
    Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t)
    {
        Vector3 result;
        Vector3 p0p1 = (1 - t) * p0 + t * p1;
        Vector3 p1p2 = (1 - t) * p1 + t * p2;
        Vector3 p2p3 = (1 - t) * p2 + t * p3;
        Vector3 p0p1p2 = (1 - t) * p0p1 + t * p1p2;
        Vector3 p1p2p3 = (1 - t) * p1p2 + t * p2p3;
        result = (1 - t) * p0p1p2 + t * p1p2p3;
        return result;
    }

n次方公式

        

        

最后一个，最难的n次方的公式，其实这个只要能把前面两个理解了，最后一个也不难，都是有规律的，就是不停的去计算插值；点1和点2插值，产生出新的点，点2和点3插值，又产生一个点，依次循环，直到最后只剩下一个点。

    // n阶曲线，递归实现
    public Vector3 Bezier(float t, List<Vector3> p)
    {
        if (p.Count < 2)
            return p[0];
        List<Vector3> newp = new List<Vector3>();
        for (int i = 0; i < p.Count - 1; i++)
        {
            Debug.DrawLine(p[i], p[i + 1]);
            Vector3 p0p1 = (1 - t) * p[i] + t * p[i + 1];
            newp.Add(p0p1);
        }
        return Bezier(t, newp);
    }
    // transform转换为vector3，在调用参数为List<Vector3>的Bezier函数
    public Vector3 Bezier(float t, List<Transform> p)
    {
        if (p.Count < 2)
            return p[0].position;
        List<Vector3> newp = new List<Vector3>();
        for (int i = 0; i < p.Count; i++)
        {
            newp.Add(p[i].position);
        }
        return Bezier(t, newp);
    }

在unity里实现的效果