文章目录

• 货仓选址
• • 解题思路
  • 解题代码
  • 题目扩展

货仓选址

题目描述

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1~AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数N。

第二行N个整数A1~AN。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

1≤N≤100000
0≤Ai≤40000

输入样例：

4
6 2 9 1

输入样例：

12

解题思路

假设有，a,b 两点，需要在数轴上，选择一个x点，使得 a，b两点到 x 的距离和最小。

可以得出绝对值不等式： ∣ a − x ∣ + ∣ b − x ∣ > = ∣ a − b ∣ |a - x| + |b - x| >= |a - b| ∣a−x∣+∣b−x∣>=∣a−b∣ , 不难看出，当 x 点取到 a,b两点之间，距离和为最小值。

扩展为n个点

把第 n 个点和第 1 个点看成为一组，第 n-1 个点和第 2 个点看成一组，依次这样，写出他们到达 x 点距离和的表达式。

如： $|a_n - x| + |a_1 - x| + |a_(n - 1) - x| + |a_2 - x|+…+|a_(n/2) - x| - |a_(n/2) - x| >= |a_n - a_1| + |a_(n-1) -a_2|+… $

从上式不难看出，要满足所有条件：

• 如果n是奇数，取中位数，满足上式
• 如果n是偶数，取中间两个数中的一个，或则取它俩之间的数，都可以获得最优解。

解题代码

java代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int n = cin.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            a[i] = cin.nextInt();
        }
        Arrays.sort(a);
        int ans = 0;
        int pos = a[n >> 1];
        for (int x : a) {
            ans += Math.abs(pos - x);
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
int a[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
        cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) ans += abs(a[i] - a[n/2]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
} 

注解：有一种算法可以在 O ( n ) O(n) O(n)的时间，求出中位数。

题目扩展

• 3167 星星还是树（扩展到二维平面 ）， 三分，模拟退火（扩展到d维）