灯泡开关

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题目描述：

初始时有 n 个灯泡关闭。 第 1 轮，你打开所有的灯泡。 第 2 轮，每两个灯泡你关闭一次。 第 3 轮，每三个灯泡切换一次开关（如果关闭则开启，如果开启则关闭）。第 i 轮，每 i 个灯泡切换一次开关。 对于第 n 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。 找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例：
输入: 3
输出: 1
解释:
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭].

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

题解：
把灯泡的开关状态用0，1来表示。0代表关状态，1代表开状态。然后对灯泡的开关操作就是对0或1进行一次异或1即可。emmmmm，以下代码是不动脑子就能想到的基本办法，但是你会发现超时了。

代码如下：

int bulbSwitch(int n) 
{    
	if(n==0)    
	{        
		return 0;    
	}    
	int a[n];    
	int i;    
	for(i=0;i<n;i++)    
	{        
		a[i]=1;    
	}    
	for(i=2;i<=n;i++)    
	{        
		for(int j=i-1;j<n;j=j+i)        
		{            
			a[j]=a[j]^1;        
		}    
	}    
	int sum=0;    
	for(i=0;i<n;i++)    
	{        
		if(a[i]==1)        
		{            
			sum++;        
		}       
	}    
	cout<<sum<<endl;    
	return sum;  
}

但是先算出n从1到10的结果，你会发现一个规律，那就是结果就是n取平方根。为什么呢？因为第 i 个灯泡反转的次数就是 i 的因子的个数（包括1和 i），因为只有反转奇数次灯泡才能为开的状态，所以 i 的因子个数必须为奇数。而结果就是要求从1到n一共有几个因子为奇数的数。如何求因子为奇数的数呢？ 比如6的因子为16和23，因子个数为偶数，而4的因子为14和22.所以只有n是一个数平方时，它的因子个数才为奇数个。那么要求从1到n有几个因子个数为奇数的数就可以转换为从1到n中有几个数的平方不超过n，即为求n的平方根。

代码很短

int bulbSwitch(int n) 
{
	return (int)sqrt(n);
}

执行结果：
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