线代-矩阵

重点：

矩阵相乘⇒矩阵乘法规则（cij＝A的第i行乘B的第j列对应元素的和）

向量相乘⇒向量乘法规则
（α1,α2,α3）β
⇒α1β+α2β+α3β

笔记：

13-矩阵（表格）汇总

★只有方阵才有行列式 只有方阵才有主对角线

迹：主对角线元素的和

---

14-特殊矩阵：

①零矩阵：元素都为零,记作0（仍是表格）

②对角矩阵：主对角线以外的元素都为0 记∧

特别地→单位矩阵：主对角线元素都为1 记作E

★对角矩阵的幂为主对角线元素的幂（n次方 包括-1次方即求逆矩阵）

★两个对角矩阵相乘为主对角线元素相乘

③一阶方阵：一个数（不再是表格）

④对称矩阵（方阵）：关于主对角线对称的矩阵

---

★14-矩阵k乘和加减都是对整个行列式元素aij

行列式是对一行（列）

---

★15-矩阵乘法：AB=（ms）（sn）→（m*n）

★★★矩阵乘法无交换律 （其他运算都满足包括分配律和结合律）

且①A≠0,B≠0→可能AB=0

②AB=AC且A≠0推不出B=C
（前提：A可逆即A的行列式≠0）

★矩阵是表格,不存在除法,-1次方是求逆矩阵

---

16-转置矩阵公式

①（A+B）^T＝AT+B^T

②（AB）^T＝BT*A^T

---

18-伴随矩阵公式（二阶伴随矩阵最好求）

伴随矩阵：A*＝（Aij）,Aij为aij的代数余子式

AA*＝ A*A＝|A| ×E

（若A可逆）⇒A-¹＝A*/lAl

二阶矩阵求伴随矩阵：
主对角线互换,副对角线换号（符号）

---

★★19-逆矩阵公式

①★前提：方阵（非方阵无可逆概念）

有AB＝E⇒BA＝E；即AB互逆（AB同阶方阵）
（AB若有一个不满足n阶方阵,则式子不成立）

②★A可逆⇔lAl≠0

②方阵行列式乘法公式 ：lABl＝lAl*lBl

③可逆矩阵与其转置矩阵的公式

---

20-求逆矩阵方法

---

21-初等变换（互换/k乘/倍加行（列）元素）

★★★矩阵A有限次初等变换成B A,B等价

★等价：秩不变,但行列式可能变

---

★22-初等矩阵及其性质

定义：单位矩阵E经一次初等变换中所得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）记初等矩阵为P,普通矩阵为A

①PA→行语言读P
PA是A作一次与P同样的行变换

②AP→列语言读P
PA是A作一次与P同样的列变换

（2）初等矩阵求逆矩阵

定义：初等矩阵均可逆,且其逆矩阵是同类型的初等变换（初等矩阵）

①倍加初矩（倍数k）⇒倍加矩阵（倍数-k）

即 其逆矩阵为对单位矩阵做同等变符倍加（倍数-k）得到的矩阵

②互换初矩⇒其逆矩阵不变（同等互换）

③倍乘初矩（倍数k）⇒倍乘初矩（倍数1/k）

（3）可逆矩阵A总可表示为若干初等矩阵的乘积

（4）A可逆⇔可逆矩阵A经过若干次行变换可化为单位矩阵

---

★★★24-矩阵变换（消元）方法

1.行阶梯→行最简矩阵

（1）概念：
行阶梯：①如果有零行,则零行在矩阵的底部

②每个非零行的主元（该行最左边的第一个非零元）所在列下面元素都是0 零行无主元

行最简：在行阶梯的基础上,同时满足①非零行主元都是0②主元所在列其他元素都是0
→即主元所在列存在一个单位矩阵

（2）计算：

①★先化行阶梯型（由上往下消元）

→通过求最大非零子行列式的阶数/最大无关向量组矩阵

可求得矩阵的秩（r）⇔向量组秩（极大无关组向量数）

→特殊地,若解方程可得方程组*变量的数量（n-r）

→再特殊地,（n-r）也是基础解系的解向量数量

②★再化行最简（由下往上）

→可求得（矩阵）方程组的*变量（r阶单位矩阵主元列以外的未知数）

→特殊地,通过化简后的矩阵,可得到基础解系与其他的向量的线性关系（用解向量无关组（基础解系）表示解向量组其他解向量）

特殊地,若第一行外 存在两行倍加消元 多于倍加第一行 优先倍加该两行

★哪个倍加更简单用哪个,注意运算次序即可。

2.爪型

（2）计算

①先变成爪型 r2-r1 r3-r1 r4-r1

②再变成上/下三角 ★只求秩的话可以混合变化

---

26-矩阵分块

（1） 矩阵分块运算前提：两个分块矩阵
①矩阵同型②分块同型（划分相同）

（2）①乘法加法都按正常矩阵运算规则来

---

★★★行变换与列变换要求

（1）★矩阵做变换（初等变换）时一般不能同时行变换和列变换混合使用

①解线性方程组（保证同解）、

②化成（行）阶梯形、（行）最简形

③求极大无关组 ④求矩阵的逆矩阵 时只能做行变换

（2）①特殊地,求矩阵的秩可以混用

初等变换和列初等,初等变换矩阵的秩不变

②行列式中是可以同时行变换和列变换同时使用的

/或许对于行列式不叫行列变换仅叫互加

（★行列式仅互加不改变行列式的值）

（3）特殊地：克拉默（n个方程,n个未知数），主要用来检查（n*n）齐次方程组有无非零解

①仅化简行列式时可以混合变换

②如果无穷多解（系数行列式＝0）

再做矩阵（初等行）变换,求方程的解

---

公式