线性代数之二：行列式

2.1 矩阵的行列式

2.1.1 行列式的记号与值

我们用两条竖线间包括的阵列表示给定矩阵的行列式,记作det(A)

det(A)=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮am1a12a22am2.........a1na2namn∣∣∣∣∣∣

2.1.2 子式与余子式

定义：令A=(aij)为n阶方阵，并用Mij表示删除A中包含aij的行和列得到的n-1阶的矩阵，矩阵Mij的行列式称为aij的子式(minor)。

定义：定义aij的余子式(cofactor)为Aij=(−1)i+jdet(Mij)

因此行列式可以用余子式展开递归定义如下：

det(A)={a11a11A11+a12A12+...+a1nA1n当 n=1当 n>1

定理：对于方阵A，det(A)可表示为A的任何行或列的余子式展开，即

det(A)=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj

定理：若A为n阶方阵，则det(AT)=det(A)
定理：若A为n阶三角矩阵，则A的行列式等于A的对角线元素的乘积
定理：若A为n阶矩阵

• 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0
• 若A有两行或两列相等，或成比例，则det(A)=0

2.1.3 使用numpy计算行列式

import numpy as np
A = np.array([[1,2],[3,4]])
print np.linalg.det(A)

2.2 行列式的性质

引理：令A为n阶矩阵，若Ajk表示ajk的余子式，其中k=1,…,n则：

ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn={det(A)0当 i=j当 i≠j

对行或列运算对行列式的作用总结如下：

• 交换两行或列，改变行列式的符号
• 矩阵某行或列乘以标量的作用是将行列式乘以这个标量
• 将某行或列的倍数加到其他行或列不改变行列式的值

这里我们得到另一种计算det(A)的方法，即通过第I和III类行列变换，将A简化为三角矩阵，则对角线元素的乘积即为det(A)的值，而正负号取为(−1)k，k为行或列变换的次数。

定理：n阶矩阵A是奇异的充分条件是det(A)=0
定理：若A和B均为n阶矩阵，则det(AB)=det(A)det(B)

2.3 克拉默法则

2.3.1 伴随矩阵

若A为n阶矩阵，定义A的伴随矩阵为adj A，则

adjA=⎡⎣⎢⎢⎢⎢A11A12⋮A1nA21A22A2n.........An1An2Ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥

为构造伴随矩阵，只需要将A的元素用它们的余子式替换，然后将结果矩阵转置。

下面给出一种计算矩阵逆的方法：若A是非奇异的，则有

A−1=1det(A)adjA

2.3.2 克拉默法则

定理：令A为n阶矩阵，令Ai为矩阵A中第i列用b替换得到的矩阵，若x为方程组Ax=b的惟一解，则：

xi=det(Ai)det(A),i=1,2,...n

克拉默法则给出了一个将n阶线性方程组的解用行列式表示的便利方法。不过其计算量要比消元法要大。

2.3.3 向量积

在三维空间中，向量x,y的向量积可写为行列式：

x∗y=∣∣∣∣ix1y1jx2y2kx3y3∣∣∣∣

在牛顿力学中，向量积用于定义副法线方向。比方x乘y,右手四指并起来伸直指向x方向,然后再朝y方向弯起来,这时拇指所指方向就是向量积方向,向量积方向永远x,y垂直。