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算法:最小路径和【动态规划】

程序员文章站 2022-07-12 12:09:01
...

最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

说明:每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1的总和最小。

leetcode

题目分析:

  • 矩阵最上角到右下角最小路径
  • 每次只能向下或者向右移动一步(若没有方向限制,需要考虑递归 参考:格子里的整数
  • 利用动态规划:构建dp,用来存储最小路径,dp[i][j]表示从左上角走到(i,j)的最小路径。
  • 则有:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
  • 考虑优化:可以将dp数组压缩为一维数据
# dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]


def dpMinPathSum(grid):  # dp解法
    # initial
    dp = [[0] * len(grid[0]) for _ in range(len(grid)) ]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, len(dp[0])):
        dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i]
    for i in range(1, len(dp)):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    
    # struct dp
    for i in range(1, len(dp)):
        for j in range(1, len(dp[0])):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    return dp[-1][-1]


def opt_dp(grid):  # dp优化解法
    dp = [0] * len(grid[0])
    dp[0] = grid[0][0]
    for i in range(1, len(grid[0])):
        dp[i] = dp[i-1] + grid[0][i]
    
    for i in range(1, len(grid)):
        dp[0] += grid[i][0]	 # 每次需初始化dp[0]
        for j in range(1, len(grid[0])):
            dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]) + grid[i][j]
    return dp[-1]


class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        # return dpMinPathSum(grid)
        return opt_dp(grid)
相关标签: 算法 动态规划